全国普通高等学校招生统一考试数学

已知集合$A=\left\{-2,-1,3,4\right\},B=\left\{-1,2,3\right\}$，则$A\cap B$           .

已知复数$Z=(5-2i{)}^2$（$i$为虚数单位），则复数$Z$的实部是.

右图是一个算法流程图，则输出的$n$的值是.

从1,2,3,6这四个数中一次随机地取2个数，则所取两个数的乘积为6的概率为.

已知函数$y=\cos x$与函数$y=\sin (2x+\varphi )(0\le \varphi <\pi )$，它们的图像有一个横坐标为$\frac{\pi }{3}$的交点，则$\varphi$的值是.

某种树木的底部周长的取值范围是，它的频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100$cm$.

在各项均为正数的等比数列 $\left\{a_n\right\}$中，若 $a_2=1,a_8=a_5+2a_4$，则 $a_5$的值是.

设甲，乙两个圆柱的底面面积分别为 $S_1,S_2$，体积为 $V_1,V_2$，若它们的侧面积相等且 $\frac{S_1}{S_2}=\frac{9}{4}$，则 $\frac{V_1}{V_2}$的值是.

在平面直角坐标系$xoy$中，直线$x+2y-3=0$被$(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=4$圆截得的弦长为.

已知函数$f\left(x\right)=x^2+mx-1$，若对于任意的$x\in \left[m,m+1\right]$都有$f\left(x\right)<0$，则实数$m$的取值范围为.

在平面直角坐标系$xOy$中，若曲线$y=a{x}^2+\frac{b}{x}$（$a,b$为常数）过点$P(2,-5)$，且该曲线在点$P$处的切线与直线$7x+2y+3=0$平行，则$a+b=$.

如图在平行四边形$ABCD$中，已知$AB=8,AD=5$，$\overline{CP}=3\overline{PD},\overline{AP}·\overline{BP}=2$，则$\overline{AB}·\overline{AD}$=.

已知 $f\left(x\right)$是定义在 $R$上且周期为3的函数，当 $x\in [0,3)$时， $f\left(x\right)=\left|x^2-2x+\frac{1}{2}\right|$，若函数 $y=f\left(x\right)-a$在区间[-3,4]上有10个零点（互不相同），则实数 $a$的取值范围是.

若 $△ABC$的内角满足 $\sin A+\sqrt{2}\sin B=2\sin C$，则 $\cos C$的最小值是.

已知$\alpha \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right),\sin \alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}$.
（1）求$\sin \left(\frac{\pi }{4}+\alpha \right)$的值；
（2）求$\cos \left(\frac{5\pi }{6}-2\alpha \right)$

如图在三棱锥 $P-ABC$中， $D,E,F$分别为棱 $PC,AC,AB$的中点，已知 $PA\perp AC,PA=6,BC=8,DF=5$.

求证：

（1）直线 $PA//$平面 $DEF$；
（2）平面 $BDE$ $\perp$平面 $ABC$.

如图在平面直角坐标系$xoy$中，$F_1,F_2$分别是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左右焦点，顶点$B$的坐标是$(0,b)$，连接$B{F}_2$并延长交椭圆于点$A$，过点$A$作$x$轴的垂线交椭圆于另一点$C$，连接$F_{1}C$.

（1）若点$C$的坐标为$(\frac{4}{3},\frac{1}{3})$，且$B{F}_2=\sqrt{2}$，求椭圆的方程；
（2）若$F_{1}C\perp AB$，求椭圆离心率$e$的值.

如图：为保护河上古桥$OA$，规划建一座新桥$BC$，同时设立一个圆形保护区，规划要求，新桥$BC$与河岸$AB$垂直；保护区的边界为圆心$M$在线段$OA$上并与$BC$相切的圆，且古桥两端$O$和$A$到该圆上任一点的距离均不少于$80m$，经测量，点$A$位于点$O$正北方向$60m$处，点$C$位于点$O$正东方向$170m$处，（$OC$为河岸），$\tan \angle BCO=\frac{4}{3}$.

（1）求新桥$BC$的长；
（2）当$OM$多长时，圆形保护区的面积最大？

已知函数$f\left(x\right)=e^x+e^{-x}$，其中$e$是自然对数的底数.
（1）证明：$f\left(x\right)$是$R$上的偶函数；
（2）若关于$x$的不等式$mf\left(x\right)\le e^{-x}+m-1$在$(0,+\infty )$上恒成立，求实数$m$的取值范围；
（3）已知正数$a$满足：存在$x_0\in (1,+\infty )$，使得$f\left(x_0\right)<a(-{x_0}^3+3x_0)$成立，试比较$e^{a-1}$与$a^{e-1}$的大小，并证明你的结论.

设数列$\left\{a_n\right\}$的前$n$项和为$S_n$.若对任意的正整数$n$，总存在正整数$m$，使得$S_n=a_m$，则称$\left\{a_n\right\}$是"$H$数列".
（1）若数列$\left\{a_n\right\}$的前$n$项和为$S_n=2^n(n\in N^{*})$，证明：$\left\{a_n\right\}$是"$H$数列".
（2）设$\left\{a_n\right\}$是等差数列，其首项$a_1=1$，公差$d<0$，若$\left\{a_n\right\}$是"$H$数列"，求$d$的值；
（3）证明：对任意的等差数列$\left\{a_n\right\}$，总存在两个"$H$数列" $\left\{b_n\right\}$和$\left\{c_n\right\}$，使得$a_n=b_n+c_n(n\in N^{*})$成立.

如图，$AB$是圆$O$的直径，$CD$是圆$O$上位于$AB$异侧的两点，证明$\angle AOB=\angle D$

已知矩阵$A=\left[\begin{array}{cc}-1& 2\\ 1& x\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& -1\end{array}\right]$，向量$a=\left[\begin{array}{c}2\\ y\end{array}\right]$，$x,y$是实数，若$A\mathit{a}=B\mathit{b}$，求$x+y$的值.

在平面直角坐标系$xOy$中，已知直线$l$的参数方程$\{\begin{array}{c}x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t\end{array}t$（$t$为参数），直线$l$与抛物线$y^2=4x$相交于$AB$两点，求线段$AB$的长.

已知$x>0,y>0$，证明$(1+x+y^2)(1+x^2+y)\ge 9xy$

盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同.
（1）从盒中一次随机抽出2个球，求取出的2个球的颜色相同的概率；
（2）从盒中一次随机抽出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别为 $x_1,x_2,x_3$，随机变量 $X$表示 $x_1,x_2,x_3$的最大数，求 $X$的概率分布和数学期望 $E\left(X\right)$.

已知函数$f_0\left(x\right)=\frac{\sin x}{x}(x>0)$，设$f_n\left(x\right)$为$f_{n-1}\left(x\right)$的导数，$n\in N^{*}$

（1）求$2f_1\left(\frac{\pi }{2}\right)+\frac{\pi }{2}{f}_2\left(\frac{\pi }{2}\right)$的值；
（2）证明：对任意$n\in N^{*}$，等式$\left|n{f}_{n-1}\left(\frac{\pi }{4}\right)+\frac{\pi }{4}{f}_n\left(\frac{\pi }{4}\right)\right|=\frac{\sqrt{2}}{2}$.