2020年北京市高级中等学校中考数学试卷

如图是某几何体的三视图，该几何体是（     ）

2020 年 6 月 23 日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌发射中心发射升空， 6 月 30 日成功定点于距离地球 $36000$ 公里的地球同步轨道．将 $36000$ 用科学记数法表示应为（     ）

如图， AB 和 CD 相交于点 O ，则下列结论正确的是（     ）

下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（     ）

正五边形的外角和为（     ）

实数 $a$ 在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数 $b$ 满足 $-a<b<a$ ，则 $b$ 的值可以是（     ）

不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着 " $1$ " ， " $2$ " ，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为 3 的概率是（     ）

有一个装有水的容器，如图所示．容器内的水面高度是 $10cm$ ，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒 $0.2cm$ 的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（     ）

若代数式 $\frac{1}{x-7}$有意义，则实数 $x$的取值范围是_____．

已知关于 $x$ 的方程 $x^2+2x+k=0$ 有两个相等的实数根，则 $k$ 的值是 ______ ．

写出一个比 $\sqrt{2}$ 大且比 $\sqrt{15}$ 小的整数 ______ ．

方程组 $\left\{\begin{array}{c}x-y=1\\ 3x+y=7\end{array}\right.$的解为________．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，直线 $y=x$ 与双曲线 $y=\frac{m}{x}$ 交于 A ， B 两点．若点 A ， B 的纵坐标分别为 $y_1,y_2$ ，则 $y_1+y_2$ 的值为 _______ ．

在 $△ABC$ 中， $AB=AC$ ，点 D 在 BC 上（不与点 B ， C 重合）．只需添加一个条件即可证明 $△ABD≌△ACD$ ，这个条件可以是 ________ （写出一个即可）

如图所示的网格是正方形网格， A ， B ， C ， D 是网格交点，则 $△$ ABC 的面积与 $△$ ABD 的面积的大小关系为： $S_{△\mathit{ABC}}$ ______ $S_{△\mathit{ABD}}$ （填"＞"，"＝"或"＜"）

如图是某剧场第一排座位分布图：甲、乙、丙、丁四人购票，所购票分别为 2 ， 3 ， 4 ， 5 ．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位之和最小．如果按"甲、乙、丙、丁"的先后顺序购票，那么甲购买 1 ， 2 号座位的票，乙购买 3 ， 5 ， 7 号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序 ______ ．

计算： ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}+\sqrt{18}+|-2|-6\sin 45°$

解不等式组： $\left\{\begin{array}{c}5x-3>2x\\ \frac{2x-1}{3}<\frac{x}{2}\end{array}\right.$

已知 $5x^2-x-1=0$ ，求代数式 $(3x+2)(3x-2)+x(x-2)$ 的值．

已知：如图， $△ABC$ 为锐角三角形， $AB=BC，CD\parallel AB$ ．

求作：线段 BP ，使得点 P 在直线 CD 上，且  $\angle ABP=\frac{1}{2}\angle \mathit{BAC}$ ．

作法：①以点 A 为圆心， AC 长为半径画圆，交直线 CD 于 C ， P 两点；②连接 BP ．线段 BP 就是所求作线段．

（ 1 ）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）

（ 2 ）完成下面的证明．

证明： $\because CD\parallel AB$ ，

$\therefore \angle ABP=$         ．

$\because AB=AC$ ，

∴点 B 在⊙ A 上．

又∵ $\angle BPC= \frac{1}{2}\angle BAC$ （        ）（填推理依据）

∴ $\angle ABP= \frac{1}{2}\angle BAC$

如图，菱形 $\mathit{ABCD}$ 的对角线 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ， $E$ 是 $\mathit{AD}$ 的中点，点 $F,G$ 在 $\mathit{AB}$ 上， $\mathit{EF}\perp \mathit{AB}$ ， $\mathit{OG}\parallel \mathit{EF}$ ．

（1 ）求证：四边形 $\mathit{OEFG}$ 是矩形；

（ 2 ）若 $\mathit{AD}=10$ ， $\mathit{EF}=4$ ，求 $\mathit{OE}$ 和 $\mathit{BG}$ 的长．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，一次函数 $y=\mathit{kx}+b(k\ne 0)$ 的图象由函数 $y=x$ 的图象平移得到，且经过点 $(1，2)$ ．

（ 1 ）求这个一次函数的解析式；

（ 2 ）当 $x>1$ 时，对于 $x$ 的每一个值，函数 $y=\mathit{mx}(m\ne 0)$ 的值大于一次函数 $y=\mathit{kx}+b$ 的值，直接写出 $m$ 的取值范围．

如图， $\mathit{AB}$ 为 $\odot O$ 的直径， $C$ 为 $\mathit{BA}$ 延长线上一点， $\mathit{CD}$ 是 $\odot O$ 的切线， $D$ 为切点， $\mathit{OF}\perp \mathit{AD}$ 于点 $E$ ，交 $\mathit{CD}$ 于点 $F$ ．

（ 1 ）求证： $\angle \mathit{ADC}=\angle \mathit{AOF}$ ；

（ 2 ）若 $\sin C=\frac{1}{3}$ ， $\mathit{BD}=8$ ，求 $\mathit{EF}$ 的长．

小云在学习过程中遇到一个函数 $y=\frac{1}{6}\left|x\right|(x^2-x+1)(x\ge -2)$ ．下面是小云对其探究的过程，请补充完整：

（ 1 ）当 $-2\le x<0$ 时，对于函数 $y_1=\left|x\right|$ ，即 $y_1=-x$ ，当 $-2\le x<0$ 时， $y_1$ 随 $x$ 的增大而       ，且 $y_1>0$ ；对于函数 $y_2=x^2-x+1$ ，当 $-2\le x<0$ 时， $y_2$ 随 $x$ 的增大而       ，且 $y_2>0$ ；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数 $y$ ，当 $-2\le x<0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而         ．

（ 2 ）当 $x\ge 0$ 时，对于函数 $y$ ，当 $x\ge 0$ 时， $y$ 与 $x$ 的几组对应值如下表：

综合上表，进一步探究发现，当 $x\ge 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大．在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，画出当 $x\ge 0$ 时的函数 $y$ 的图象．

（ 3 ）过点 $(0，m)$ （ $m>0$ ）作平行于 $x$ 轴的直线 $l$ ，结合（ 1 ）（ 2 ）的分析，解决问题：若直线 $l$ 与函数 $y=\frac{1}{6}\left|x\right|(x^2-x+1)(x\ge -2)$ 的图象有两个交点，则 $m$ 的最大值是    ．

小云统计了自己所住小区 5 月 1 日至 30 日的厨余垃圾分出量（单位：千克），相关信息如下：

$a$ ．小云所住小区 5 月 1 日至 30 日的厨余垃圾分出量统计图：

$b$ ．小云所住小区 5 月 1 日至 30 日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下：

（ 1 ）该小区 5 月 1 日至 30 日的厨余垃圾分出量的平均数约为         （结果取整数）

（ 2 ）已知该小区 4 月的厨余垃圾分出量的平均数为 $60$ ，则该小区 5 月 1 日至 30 日的厨余垃圾分出量的平均数约为 4 月的        倍（结果保留小数点后一位）；

（ 3 ）记该小区 5 月 1 日至 10 日的厨余垃圾分出量的方差为 $s_1^2,$ 5 月 11 日至 20 日的厨余垃圾分出量的方差为 $s_2^2$ ， 5 月 21 日至 30 日的厨余垃圾分出量的方差为 $s_3^2$ ．直接写出 $s_1^2,s_2^2,s_3^2$ 的大小关系．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中， $M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$为抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a>0)$上任意两点，其中 $x_1<x_2$．

（1）若抛物线的对称轴为 $x=1$，当 $x_1,x_2$为何值时， $y_1=y_2=c;$

（2）设抛物线的对称轴为 $x=t$．若对于 $x_1+x_2>3$，都有 $y_1<y_2$，求 $t$的取值范围．

在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle C=90°$ ， $\mathit{AC}>\mathit{BC}$ ， $D$ 是 $\mathit{AB}$ 的中点． $E$ 为直线 $\mathit{AC}$ 上一动点，连接 $\mathit{DE}$ ，过点 $D$ 作 $\mathit{DF}\perp \mathit{DE}$ ，交直线 $\mathit{BC}$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{EF}$ ．

（ 1 ）如图 1 ，当 $E$ 是线段 $\mathit{AC}$ 的中点时，设 $\mathit{AE}=a$ ， $\mathit{BF}=b$ ，求 $\mathit{EF}$ 的长（用含 $a,b$ 的式子表示）；

（ 2 ）当点 $E$ 在线段 $\mathit{CA}$ 的延长线上时，依题意补全图 2 ，用等式表示线段 $\mathit{AE}$ ， $\mathit{EF}$ ， $\mathit{BF}$ 之间的数量关系，并证明．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，⊙ O 的半径为 1 ， A ， B 为⊙ O 外两点， $AB=1$ ．给出如下定义：平移线段 AB ，得到⊙ O 的弦 $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}$ （ $A^{\text{'}},B^{\text{'}}$ 分别为点 A ， B 的对应点），线段 $A{A}^{\text{'}}$ 长度的最小值称为线段 AB 到⊙ O 的"平移距离"．

（ 1 ）如图，平移线段 AB 到⊙ O 的长度为 1 的弦 $P_1{P}_2$ 和 $P_3{P}_4$ ，则这两条弦的位置关系是            ；在点 $P_1,P_2,P_3,P_4$ 中，连接点 A 与点         的线段的长度等于线段 AB 到⊙ O 的"平移距离"；

（ 2 ）若点 A ， B 都在直线 $y=\sqrt{3}x+2\sqrt{3}$ 上，记线段 AB 到⊙ O 的"平移距离"为 $d_1$ ，求 $d_1$ 的最小值；

（ 3 ）若点 A 的坐标为 $\left(2,\frac{3}{2}\right)$ ，记线段 AB 到⊙ O 的"平移距离"为 $d_2$ ，直接写出 $d_2$ 的取值范围．