全国重点高中提前招生真题过关（一）

关于 $x$的一元二次方程 $(m-2)x^2+4x-1=0$有两个不相等的实数根，则 $m$的取值范围是（ ）.

设 $a,b$是方程 $x^2+20x+1=0$的两个根， $c,d$是方程 $x^2-19x+1=0$的两个根，则代数式 $(a+c)(b+c)(a-d)(b-d)$的值为（ ）.

设关于 $x$的方程 $a{x}^2+(a+2)x+9a=0$有两个不相等的实数根 $x_1,x_2$，且 $x_1<x_2$，那么实数 $a$的取值范围是（ ）.

已知 $a,b$是方程 $x^2-3x-5=0$的两根，则代数式 $2a^3-6a^2+b^2+7b+1$的值是（ ）.

设 $x_1,x_2$是二次方程 $x^2+x-3=0$的两个根，那么 $x_1^3-4x_2^2+19$的值等于（ ）.

已知关于 $x$的方程 ${(x-2)}^2+4|x-2|-k=0$有四个根，则 $k$的范围为（ ）.

已知 $a,b,c$是三个互不相等的实数，且三个关于 $x$的一元二次方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c=0,b{x}^2+\mathit{cx}+a=0,c{x}^2+\mathit{ax}+b=0$恰有一个公共实数根，则 $\frac{a^2}{\mathit{bc}}+\frac{b^2}{\mathit{ca}}+\frac{c^2}{\mathit{ab}}$的值为（ ）.

设方程 $(x-a)(x-b)-x=0$的两根是 $c,d$，则方程 $(x-c)(x-d)+x=0$的根是（ ）.

设 $x_1,x_2$是方程 $x^2-6x+a=0$的两个根，以 $x_1,x_2$为两边长的等腰三角形只可以画一个，则实数 $a$的取值范围为＿＿＿＿＿.

已知 $\alpha ,\beta$是方程 $x^2+x-1=0$的两个实根，则 ${\alpha }^4-3\beta =$＿＿＿＿＿.

若关于 $x$的方程 $(x-2)\left(x^2-4x+m\right)=0$有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则 $m$的取值范围是＿＿＿＿＿.

已知 $a,b,c,d$是四个不同的实数，且 $(b+d)(b+a)=1,(c+d)(c+a)=1$，则 $(b+d)(c+d)$的值为＿＿＿＿＿.

已知关于 $x$的方程 $\sqrt{x}=x+k$有两个不同的实数根，则实数 $k$的取值范围是＿＿＿＿＿.

已知关于 $x$的两个方程 $x^2-x+3m=0,x^2+x+m=0$，若前一个方程中有一个根是后一个方程中某个根的 $3$倍，则实数 $m$的值是＿＿＿＿＿.

若方程 $\left(x^2-1\right)\left(x^2-4\right)=k$有四个非零实根，且它们在数轴上对应的四个点等距排列，则 $k=$＿＿＿＿＿.

已知 $x,y,z$为实数，且 $x+y+z=5,\mathit{xy}+\mathit{yz}+\mathit{zx}=3$，则 $z$的最大值与最小值的差为＿＿＿＿＿.

已知关于 $x$的方程 $x^2-(2k-1)x+k^2=0$有两个实根 $x_1,x_2$，且满足 $x_1{x}_2-\left|x_1\right|-\left|x_2\right|=2$，求实数 $k$的值；

设 $m$是不小于 $-1$的实数，关于 $x$的方程 $x^2+2(m-2)x+m^2-3m+3=0$有两个不相等的实数根 $x_1,x_2$.

（1）若 $x_1^2+x_2^2=6$，求 $m$的值；

（2）求 $\frac{m{x}_1^2}{1-x_1}+\frac{m{x}_2^2}{1-x_2}$的最大值.

已知关于 $x$的一元二次方程 $x^2-(2k+1)x+k^2+k=0$.

（1）求证:无论 $k$取何值，方程都有两个不相等的实数根.

（2）如果方程的两个实数根为 $x_1,x_2$，且 $k$与 $\frac{x_1}{x_2}$都为整数，求 $k$所有可能的值.

定义:如果一元二次方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c=0(a\ne 0)$满足 $a+b+c=0$，那么我们称这个方程为“凤凰方程”，已知 $a{x}^2+\mathit{bx}+c=0(a\ne 0)$是“凤凰方程”，且有两个相等的实数根，求 $a,b,c$之间的关系.

若关于 $x$的方程 $x^2-(a-3)x+a-2=0$有两个不相等的整数根，求 $a$的值.

设 $a,b,c,d$为四个不同的实数，若 $a,b$为方程 $x^2-10\mathit{cx}-11d=0$的根， $c,d$为方程 $x^2-10\mathit{ax}-11b=0$的根，求 $a+b+c+d$的值.

已知关于 $x$的一元二次方程 $x^2+\mathit{cx}+a=0$的两个整数根恰好比方程 $x^2+\mathit{ax}+b=0$的两个根都大 $1$，求 $a+b+c$的值.