2012年全国统一高考理科数学试卷（北京卷）

已知集合 $A=\{x\in R|3x+2>0\}$， $B=\{x\in R\}(x+1)(x-3)>0\}$，则 $A\cap B=$（   ）

设不等式 $0\le x\le 20\le y\le 2$表示的平面区域为 $D$，在区域 $D$内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 $2$的是（）

设 $a,b\in R$，" $a=0$"是"复数 $a+bi$是纯虚数"的（）

执行如图所示的程序框图，输出的 $S$的值是（   ）

如图， $\angle ACB=90°$， $CD\perp AB\mathrm{于点}D$，以 $BD$为直径的圆与 $BC$交于点 $E$.则(  )

从0,2中选一个数字.从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为（）

某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）

某棵果树前 $n$年的总产量 $S_n$与 $n$之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前 $m$年的年平均产量最高， $m$的值为（  ）

直线 $$\begin{gathered} \left\{x=2+t \\ y=-1-t\right\}\left(t\mathrm{为参数}\right) \end{gathered}$$与曲线 $$\begin{gathered} \left\{x=3\cos \alpha \\ y=3\sin \alpha \right\}\left(\alpha \mathrm{为参数}\right) \end{gathered}$$的交点个数为.

已知 $\left\{a_n\right\}$为等差数列， $S_n$为其前 $n$项和，若 $a_1=\frac{1}{2},S_2=a_3$，则 $a_2=$, $S_n$=.

在 $△ABC$中，若 $a=2,b+c=7$, $\cos B=-\frac{1}{4}$，则 $b$=

在直角坐标系$xOy$中,直线$l$过抛物线$y^2=4x$的焦点$F$,且与该抛物线相交于$A$、$B$两点,其中点$A$在$x$轴上方.若直线$l$的倾斜角为60º,则$△OAF$的面积是.为

已知正方形$ABCD$的边长为1，点$E$是$AB$边上的动点，则$\stackrel{\rightharpoonup }{DE}·\stackrel{\rightharpoonup }{CB}$的值是,$\stackrel{\rightharpoonup }{DE}·\stackrel{\rightharpoonup }{DC}$的最大值.

已知 $f\left(x\right)=m(x-2m)(x+m+3)$， $g\left(x\right)=2^x-2$，若同时满足条件：
① $\forall x\in R,f\left(x\right)<0$或 $g\left(x\right)<0$，② $\exists x\in (-\infty ,-4),f\left(x\right)g\left(x\right)<0$

则 $m$的取值范围是.

已知函数$f\left(x\right)=\frac{(\sin x-\cos x)\sin 2x}{\sin x}$

（Ⅰ）求$f\left(x\right)$的定义域及最小正周期
（Ⅱ）求$f\left(x\right)$的单调递增区间。

如图1，在$Rt△ABC$中，$\angle C=90°$，$BC=3$，$AC=6$，$D,E$分别$AC,AB$是上的点，且$DE//BC$，$DE=2$，将$△ADE$沿$DE$折起到$△A_{1}DE$的位置，使$A_{1_{}}C\perp CD$,如图2.
（1）求证：$A_{1_{}}C\perp$平面$BCDE$；
（2）若$M$是$A_{1}D$的中点，求$CM$与平面$A_{1_{}}BE$所成角的大小；
（3）线段$BC$上是否存在点$P$，使平面$A_{1}DP$与平面$A_{1}BE$垂直？说明理由

近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱。为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：

（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率
（Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误的概率
（Ⅲ）假设厨余垃圾在"厨余垃圾"箱、"可回收物"箱、"其他垃圾"箱的投放量分别为$a,b,c$,其中$a>0$，$a+b+c=600$.当数据$a,b,c,$的方差$s^2$最大时，写出$a,b,c$的值（结论不要求证明），并求此时$s^2$的值。
（注：$s^2=\frac{1}{n}\left[{\left(x-\overline{x}\right)}^2+{\left(x-\overline{x}\right)}^2+\dots +{\left(x-\overline{x}\right)}^2\right]$，其中$\overline{x}$为数据$x_1,x_2,\dots x_n$的平均数）

已知函数$f\left(x\right)=a{x}^{2^{}}+1$，$(a>0)$，$g\left(x\right)=x^3+bx$.

（1）若曲线$y=f\left(x\right)$与曲线$y=g\left(x\right)$在它们的交点$(1,c)$处具有公共切线，求$a,b$的值
（2）当$a^{2^{}}=4b$时，若函数$f\left(x\right)+g\left(x\right)$的单调区间，并求其在区间$(-\infty ,-1)$上的最大值.

已知曲线 $C:(5-m)x^2+(m-2)y^2=8(m\in R)$.
（1）若曲线 $C$是焦点在x轴点上的椭圆，求 $m$的取值范围；
（2）设 $m=4$，曲线 $C$与 $y$轴的交点为 $A,B$（点 $A$位于点 $B$的上方），直线 $y=kx+4$与曲线 $C$交于不同的两点 $M,N$,直线 $y=1$与直线 $BM$交于点 $G$.求证： $A,G,N$三点共线.

设$A$是由$m\times n$个实数组成的$m$行$n$列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记$s(m,n)$为所有这样的数表构成的集合。
对于$A\in s(m,n)$,记$r_i\left(A\right)$为$A$的第$i$行各数之和（$1\le i\le m$），$C_{j}A$为$A$的第$j$列各数之和（$1\le j\le n$）：
记$K\left(A\right)$为$\left|R_1\left(A\right)\right|$,$\left|R_2\left(A\right)\right|$,…,$\left|R_m\left(A\right)\right|$,$\left|C_1\left(A\right)\right|$,$\left|C_2\left(A\right)\right|$,…,$\left|C_n\left(A\right)\right|$中的最小值。

对如下数表$A$，求$K\left(A\right)$的值；

（2）设数表$A\in S$（2,3）形如

求$K\left(A\right)$的最大值；
（3）给定正整数$t$，对于所有的$A\in S$（2,2$t$+1），求$K\left(A\right)$的最大值。