初中数学整式的混合运算试题

（1）计算： $\sqrt{20}+{(-3)}^2-{(\sqrt{2}-1)}^0$．

（2）化简： $(2+m)(2-m)+m(m-1)$．

设 $a$， $b$是实数，定义 $@$的一种运算如下： $a@b={(a+b)}^2-{(a-b)}^2$，则下列结论：

①若 $a@b=0$，则 $a=0$或 $b=0$

② $a@(b+c)=a@b+a@c$

③不存在实数 $a$， $b$，满足 $a@b=a^2+5b^2$

④设 $a$， $b$是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当 $a=b$时， $a@b$最大．

其中正确的是 $($　　 $)$

A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③

阅读以下材料：

对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔 $(J$． $\mathit{Nplcr}$， $1550-1617$年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉 $(\mathit{Evlcr}$， $1707-1783$年）才发现指数与对数之间的联系．

对数的定义：一般地，若 $a^x=N(a>0,a\ne 1)$，那么 $x$叫做以 $a$为底 $N$的对数，记作： $x={\log }_{a}N$．比如指数式 $2^4=16$可以转化为 $4={\log }_{2}16$，对数式 $2={\log }_{5}25$可以转化为 $5^2=25$．

我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： ${\log }_a(M·N)={\log }_{a}M+{\log }_{a}N(a>0$， $a\ne 1$， $M>0$， $N>0)$；理由如下：

设 ${\log }_{a}M=m$， ${\log }_{a}N=n$，则 $M=a^m$， $N=a^n$

$\therefore M·N=a^m·a^n=a^{m+n}$，由对数的定义得 $m+n={\log }_a(M·N)$

又 $\because m+n={\log }_{a}M+{\log }_{a}N$

$\therefore {\log }_a(M·N)={\log }_{a}M+{\log }_{a}N$

解决以下问题：

（1）将指数 $4^3=64$转化为对数式　　；

（2）证明 ${\log }_a\frac{M}{N}={\log }_{a}M-{\log }_{a}N(a>0$， $a\ne 1$， $M>0$， $N>0)$

（3）拓展运用：计算 ${\log }_{3}2+{\log }_{3}6-{\log }_{3}4=$　　．

（1）计算： $\sqrt{12}-\sqrt[3]{8}+|\sqrt{3}-2|$；

（2）化简： $(a+3)(a-2)-a(a-1)$．

计算：

（1） $|-3|+{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1}-{\left(\sqrt{2019}\right)}^0$；

（2） $2a^3·a^3-{\left(a^2\right)}^3$．

计算：

（1） $\sqrt{3}\times \sqrt{6}-\sqrt{8}+\sqrt{12}$；

（2） ${(x+y)}^2-x(x+y)$．

计算：

（1） $\sqrt{4}-\tan 45°-{(1-\sqrt{2})}^0$；

（2） $\mathit{ab}(3a-2b)+2a{b}^2$．

计算：

（1） ${\pi }^0+{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1}-{\left(\sqrt{3}\right)}^2$；

（2） $(x-1)(x+1)-x(x-1)$．

下列运算正确的是 $($　　 $)$

A． $2a^{-3}·a^4=2a^{-12}$B． ${(-3a^2)}^3=-9a^6$

C． $a^2÷a\times \frac{1}{a}=a^2$D． $a·a^3+a^2·a^2=2a^4$

阅读以下材料：

对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔 $(J$． $\mathit{Nplcr}$， $1550-1617$年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉 $(\mathit{Evlcr}$， $1707-1783$年）才发现指数与对数之间的联系．

对数的定义：一般地，若 $a^x=N(a>0$且 $a\ne 1)$，那么 $x$叫做以 $a$为底 $N$的对数，记作 $x={\log }_{a}N$，比如指数式 $2^4=16$可以转化为对数式 $4={\log }_{2}16$，对数式 $2={\log }_{5}25$，可以转化为指数式 $5^2=25$．

我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：

${\log }_a(M·N)={\log }_{a}M+{\log }_{a}N(a>0$， $a\ne 1$， $M>0$， $N>0)$，理由如下：

设 ${\log }_{a}M=m$， ${\log }_{a}N=n$，则 $M=a^m$， $N=a^n$，

$\therefore M·N=a^m·a^n=a^{m+n}$，由对数的定义得 $m+n={\log }_a(M·N)$

又 $\because m+n={\log }_{a}M+{\log }_{a}N$

$\therefore {\log }_a(M·N)={\log }_{a}M+{\log }_{a}N$

根据阅读材料，解决以下问题：

（1）将指数式 $3^4=81$转化为对数式　　；

（2）求证： ${\log }_a\frac{M}{N}={\log }_{a}M-{\log }_{a}N(a>0$， $a\ne 1$， $M>0$， $N>0)$

（3）拓展运用：计算 ${\log }_{6}9+{\log }_{6}8-{\log }_{6}2=$　　．

计算：

（1） $3^2-\sqrt{9}-|-2|\times 2^{-1}$

（2） ${(a+1)}^2+2(1-a)$

计算：

（1） $\sqrt{16}-|-3|+(-4)\times 2^{-1}$ ；

（2） ${(x+1)}^2+x(x-2)-(x+1)(x-1)$

计算 ${\left(a^2\right)}^3-5a^3·a^3$的结果是 $($　　 $)$

A． $a^5-5a^6$B． $a^6-5a^9$C． $-4a^6$D． $4a^6$

化简： $(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)$．

下列运算正确的是 $($　　 $)$

A ． $a^2·a^3=a^6$B ． ${(-a^2)}^3=-a^5$

C ． $a^{10}÷a^9=a(a\ne 0)$D ． ${(-\mathit{bc})}^4÷{(-\mathit{bc})}^2=-b^2{c}^2$