初中数学二次函数的最值试题

如图是函数 $y=x^2-2x-3(0⩽x⩽4)$ 的图象，直线 $l//x$ 轴且过点 $(0,m)$ ，将该函数在直线 $l$ 上方的图象沿直线 $l$ 向下翻折，在直线 $l$ 下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则 $m$ 的取值范围是 $($ 　　 $)$

A．

$m⩾1$

B．

$m⩽0$

C．

$0⩽m⩽1$

D．

$m⩾1$ 或 $m⩽0$

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线都经过、两点，该抛物线的顶点为．

（1）求此抛物线和直线的解析式；

（2）设直线与该抛物线的对称轴交于点，在射线上是否存在一点，过作轴的垂线交抛物线于点，使点、、、是平行四边形的四个顶点？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）设点是直线下方抛物线上的一动点，当面积最大时，求点的坐标，并求面积的最大值．

在平面直角坐标系中，对于二次函数 $y={(x-2)}^2+1$ ，下列说法中错误的是 $($ 　　 $)$

A．	$y$ 的最小值为1
B．	图象顶点坐标为 $(2,1)$ ，对称轴为直线 $x=2$
C．	当 $x<2$ 时， $y$ 的值随 $x$ 值的增大而增大，当 $x⩾2$ 时， $y$ 的值随 $x$ 值的增大而减小
D．	它的图象可以由 $y=x^2$ 的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到

如图，抛物线与轴交于点，点，且．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点在抛物线上，且，求点的坐标；

（3）抛物线上两点，，点的横坐标为，点的横坐标为．点是抛物线上，之间的动点，过点作轴的平行线交于点．

①求的最大值；

②点关于点的对称点为，当为何值时，四边形为矩形．

已知二次函数 $y=x^2-4x+2$ ，关于该函数在 $-1⩽x⩽3$ 的取值范围内，下列说法正确的是 $($ 　　 $)$

A．	有最大值 $-1$ ，有最小值 $-2$	B．	有最大值0，有最小值 $-1$
C．	有最大值7，有最小值 $-1$	D．	有最大值7，有最小值 $-2$

设二次函数，是实数）．

（1）甲求得当时，；当时，；乙求得当时，．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．

（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含，的代数式表示）．

（3）已知二次函数的图象经过和两点，是实数），当时，求证：．

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=-\frac{1}{3}{x}^2+\frac{2\sqrt{3}}{3}x+3$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线的顶点为点 $E$ ．

（1）判断 $\mathit{\Delta ABC}$ 的形状，并说明理由；

（2）经过 $B$ ， $C$ 两点的直线交抛物线的对称轴于点 $D$ ，点 $P$ 为直线 $\mathit{BC}$ 上方抛物线上的一动点，当 $\mathit{\Delta PCD}$ 的面积最大时， $Q$ 从点 $P$ 出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点 $M$ 处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到 $y$ 轴上的点 $N$ 处，最后沿适当的路径运动到点 $A$ 处停止．当点 $Q$ 的运动路径最短时，求点 $N$ 的坐标及点 $Q$ 经过的最短路径的长；

（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点 $E$ 在射线 $\mathit{AE}$ 上移动，点 $E$ 平移后的对应点为点 $E\text{'}$ ，点 $A$ 的对应点为点 $A\text{'}$ ，将 $\mathit{\Delta AOC}$ 绕点 $O$ 顺时针旋转至△ $A_{1}O{C}_1$ 的位置，点 $A$ ， $C$ 的对应点分别为点 $A_1$ ， $C_1$ ，且点 $A_1$ 恰好落在 $\mathit{AC}$ 上，连接 $C_{1}A\text{'}$ ， $C_{1}E\text{'}$ ，△ $A\text{'}{C}_{1}E\text{'}$ 是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点 $E\text{'}$ 的坐标；若不能，请说明理由．

已知二次函数 $y={(x-h)}^2+1(h$ 为常数），在自变量 $x$ 的值满足 $1⩽x⩽3$ 的情况下，与其对应的函数值 $y$ 的最小值为5，则 $h$ 的值为 $($ 　　 $)$

A．

1或 $-5$

B．

$-1$ 或5

C．

1或 $-3$

D．

1或3

如图所示，在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，且 $\mathit{\Delta AOB}$ 是等腰直角三角形， $\angle \mathit{AOB}=90°$ ，点 $A(2,1)$ ．

（1）求点 $B$ 的坐标；

（2）求经过 $A$ 、 $O$ 、 $B$ 三点的抛物线的函数表达式；

（3）在（2）所求的抛物线上，是否存在一点 $P$ ，使四边形 $\mathit{ABOP}$ 的面积最大？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，过点的抛物线与直线交于点．点是线段上一动点，过点作轴的垂线，垂足为点，交抛物线于点．设的面积为，点的横坐标为．

（1）请直接写出的值及抛物线的解析式．

（2）为探究最大时点的位置，甲、乙两同学结合图形给出如下解析：

甲：借助的长与三角形面积公式，求出关于的函数关系式，可确定点的位置．

乙：当点运动到点或点时，的值可看作0，则当点运动到中点时，最大，即最大时，点为的中点．

请参考甲的方法求出最大时点的坐标，进而判断乙的猜想是否正确，并说明理由．

（3）拓展探究：如图2，直线与任意抛物线相交于、两点，是线段上的一个动点，过点作抛物线对称轴的平行线，交该抛物线于点．当的面积最大时，点一定是线段的中点吗？试作出判断并说明理由．

已知函数为常数）

（1）当，

①点在此函数图象上，求的值；

②求此函数的最大值．

（2）已知线段的两个端点坐标分别为、，当此函数的图象与线段只有一个交点时，直接写出的取值范围．

（3）当此函数图象上有4个点到轴的距离等于4，求的取值范围．

设抛物线的解析式为 $y=a{x}^2$ ，过点 $B_1(1,0)$ 作 $x$ 轴的垂线，交抛物线于点 $A_1(1,2)$ ；过点 $B_2(\frac{1}{2}$ ， $0)$ 作 $x$ 轴的垂线，交抛物线于点 $A_2$ ； $\dots$ ；过点 $B_n({\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$ ， $0\left)\right(n$ 为正整数）作 $x$ 轴的垂线，交抛物线于点 $A_n$ ，连接 $A_n{B}_{n+1}$ ，得 $\mathit{Rt}$ △ $A_n{B}_n{B}_{n+1}$ ．

（1）求 $a$ 的值；

（2）直接写出线段 $A_n{B}_n$ ， $B_n{B}_{n+1}$ 的长（用含 $n$ 的式子表示）；

（3）在系列 $\mathit{Rt}$ △ $A_n{B}_n{B}_{n+1}$ 中，探究下列问题：

①当 $n$ 为何值时， $\mathit{Rt}$ △ $A_n{B}_n{B}_{n+1}$ 是等腰直角三角形？

②设 $1⩽k<m⩽n(k$ ， $m$ 均为正整数），问：是否存在 $\mathit{Rt}$ △ $A_k{B}_k{B}_{k+1}$ 与 $\mathit{Rt}$ △ $A_m{B}_m{B}_{m+1}$ 相似？若存在，求出其相似比；若不存在，说明理由．

如图，二次函数的图象经过点与．

（1）求，的值；

（2）点是该二次函数图象上，两点之间的一动点，横坐标为，写出四边形的面积关于点的横坐标的函数表达式，并求的最大值．

（年新疆乌鲁木齐市）抛物线与x轴交于A，B两点（OA＜OB），与y轴交于点C．

（1）求点A，B，C的坐标；
（2）点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为t秒（0＜t＜2）．
①过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D（如图所示），当t为何值时，的值最小，求出这个最小值并写出此时点E，P的坐标；
②在满足①的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F，使△EFP为直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

（年贵州省黔南州）为了解都匀市交通拥堵情况，经统计分析，都匀彩虹桥上的车流速度v（千米/时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/时；当车流密度为20辆/千米时，车流速度为80千米/时．研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（1）求彩虹桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；
（2）在交通高峰时段，为使彩虹桥上车流速度大于40千米/时且小于60千米/时，应控制彩虹桥上的车流密度在什么范围内？
（3）当车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量=车流速度×车流密度．当20≤x≤220时，求彩虹桥上车流量y的最大值．