初中数学待定系数法求二次函数解析式试题

如图①，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3$经过点 $A(-1,0)$、 $B(3,0)$两点，且与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于 $x$轴，并沿 $x$轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于 $P$、 $Q$两点（点 $P$在点 $Q$的左侧），连接 $\mathit{PQ}$，在线段 $\mathit{PQ}$上方抛物线上有一动点 $D$，连接 $\mathit{DP}$、 $\mathit{DQ}$．

（Ⅰ）若点 $P$的横坐标为 $-\frac{1}{2}$，求 $\mathit{\Delta DPQ}$面积的最大值，并求此时点 $D$的坐标；

（Ⅱ）直尺在平移过程中， $\mathit{\Delta DPQ}$面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=x^2-4$与 $x$轴交于点 $A$， $B$（点 $A$位于点 $B$的左侧）， $C$为顶点，直线 $y=x+m$经过点 $A$，与 $y$轴交于点 $D$．

（1）求线段 $\mathit{AD}$的长；

（2）平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为 $C\text{'}$．若新抛物线经过点 $D$，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线 $\mathit{CC}\text{'}$平行于直线 $\mathit{AD}$，求新抛物线对应的函数表达式．

如图1，图形 $\mathit{ABCD}$是由两个二次函数 $y_1=k{x}^2+m(k<0)$与 $y_2=a{x}^2+b(a>0)$的部分图象围成的封闭图形．已知 $A(1,0)$、 $B(0,1)$、 $D(0,-3)$．

（1）直接写出这两个二次函数的表达式；

（2）判断图形 $\mathit{ABCD}$是否存在内接正方形（正方形的四个顶点在图形 $\mathit{ABCD}$上），并说明理由；

（3）如图2，连接 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$， $\mathit{AD}$，在坐标平面内，求使得 $\mathit{\Delta BDC}$与 $\mathit{\Delta ADE}$相似（其中点 $C$与点 $E$是对应顶点）的点 $E$的坐标．

如图，二次函数 $y=-\frac{1}{3}{x}^2+\mathit{bx}+2$的图象与 $x$轴交于点 $A$、 $B$，与 $y$轴交于点 $C$，点 $A$的坐标为 $(-4,0)$， $P$是抛物线上一点（点 $P$与点 $A$、 $B$、 $C$不重合）．

（1） $b=$　　，点 $B$的坐标是　　；

（2）设直线 $\mathit{PB}$与直线 $\mathit{AC}$相交于点 $M$，是否存在这样的点 $P$，使得 $\mathit{PM}:\mathit{MB}=1:2$？若存在，求出点 $P$的横坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$，判断 $\angle \mathit{CAB}$和 $\angle \mathit{CBA}$的数量关系，并说明理由．

小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：

求解体验：

（1）已知抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}-3$经过点 $(-1,0)$，则 $b=$　　，顶点坐标为　　，该抛物线关于点 $(0,1)$成中心对称的抛物线表达式是　　．

抽象感悟：

我们定义：对于抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$，以 $y$轴上的点 $M(0,m)$为中心，作该抛物线关于点 $M$中心对称的抛物线 $y\text{'}$，则我们又称抛物线 $y\text{'}$为抛物线 $y$的“衍生抛物线”，点 $M$为“衍生中心”．

（2）已知抛物线 $y=-x^2-2x+5$关于点 $(0,m)$的衍生抛物线为 $y\text{'}$，若这两条抛物线有交点，求 $m$的取值范围．

问题解决：

（3）已知抛物线 $y=a{x}^2+2\mathit{ax}-b(a\ne 0)$

①若抛物线 $y$的衍生抛物线为 $y\text{'}=b{x}^2-2\mathit{bx}+a^2(b\ne 0)$，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求 $a$、 $b$的值及衍生中心的坐标；

②若抛物线 $y$关于点 $(0,k+1^2)$的衍生抛物线为 $y_1$，其顶点为 $A_1$；关于点 $(0,k+2^2)$的衍生抛物线为 $y_2$，其顶点为 $A_2$； $\dots$；关于点 $(0,k+n^2)$的衍生抛物线为 $y_n$，其顶点为 $A_n\dots (n$为正整数）．求 $A_n{A}_{n+1}$的长（用含 $n$的式子表示）．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}(a\ne 0)$交 $x$轴正半轴于点 $A$，直线 $y=2x$经过抛物线的顶点 $M$．已知该抛物线的对称轴为直线 $x=2$，交 $x$轴于点 $B$．

（1）求 $a$， $b$的值．

（2） $P$是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接 $\mathit{OP}$， $\mathit{BP}$．设点 $P$的横坐标为 $m$， $\mathit{\Delta OBP}$的面积为 $S$，记 $K=\frac{S}{m}$．求 $K$关于 $m$的函数表达式及 $K$的范围．

已知抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过点 $(1,0)$， $(0,\frac{3}{2})$．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）将抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}(a<0)$过点 $E(10,0)$，矩形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AB}$在线段 $\mathit{OE}$上（点 $A$在点 $B$的左边），点 $C$， $D$在抛物线上．设 $A(t,0)$，当 $t=2$时， $\mathit{AD}=4$．

（1）求抛物线的函数表达式．

（2）当 $t$为何值时，矩形 $\mathit{ABCD}$的周长有最大值？最大值是多少？

（3）保持 $t=2$时的矩形 $\mathit{ABCD}$不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点 $G$， $H$，且直线 $\mathit{GH}$平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-3(a\ne 0)$经过点 $(-1,0)$， $(3,0)$，求 $a$， $b$的值．

定义：如图1，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，点 $P$在该抛物线上 $(P$点与 $A$、 $B$两点不重合），如果 $\mathit{\Delta ABP}$的三边满足 $A{P}^2+B{P}^2=A{B}^2$，则称点 $P$为抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的勾股点．

（1）直接写出抛物线 $y=-x^2+1$的勾股点的坐标．

（2）如图2，已知抛物线 $C:y=a{x}^2+\mathit{bx}(a\ne 0)$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，点 $P(1,\sqrt{3})$是抛物线 $C$的勾股点，求抛物线 $C$的函数表达式．

（3）在（2）的条件下，点 $Q$在抛物线 $C$上，求满足条件 $S_{\mathit{\Delta ABQ}}=S_{\mathit{\Delta ABP}}$的 $Q$点（异于点 $P)$的坐标．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，已知 $A$， $B$两点的坐标分别为 $(-4,0)$， $(4,0)$， $C(m,0)$是线段 $\mathit{AB}$上一点（与 $A$， $B$点不重合），抛物线 $L_1:y=a{x}^2+b_{1}x+c_1(a<0)$经过点 $A$， $C$，顶点为 $D$，抛物线 $L_2:y=a{x}^2+b_{2}x+c_2(a<0)$经过点 $C$， $B$，顶点为 $E$， $\mathit{AD}$， $\mathit{BE}$的延长线相交于点 $F$．

（1）若 $a=-\frac{1}{2}$， $m=-1$，求抛物线 $L_1$， $L_2$的解析式；

（2）若 $a=-1$， $\mathit{AF}\perp \mathit{BF}$，求 $m$的值；

（3）是否存在这样的实数 $a(a<0)$，无论 $m$取何值，直线 $\mathit{AF}$与 $\mathit{BF}$都不可能互相垂直？若存在，请直接写出 $a$的两个不同的值；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系中，设二次函数 $y_1=(x+a)(x-a-1)$，其中 $a\ne 0$．

（1）若函数 $y_1$的图象经过点 $(1,-2)$，求函数 $y_1$的表达式；

（2）若一次函数 $y_2=\mathit{ax}+b$的图象与 $y_1$的图象经过 $x$轴上同一点，探究实数 $a$， $b$满足的关系式；

（3）已知点 $P(x_0$， $m)$和 $Q(1,n)$在函数 $y_1$的图象上，若 $m<n$，求 $x_0$的取值范围．

如图，抛物线 $y=x^2-\mathit{mx}-3(m>0)$交 $y$轴于点 $C$， $\mathit{CA}\perp y$轴，交抛物线于点 $A$，点 $B$在抛物线上，且在第一象限内， $\mathit{BE}\perp y$轴，交 $y$轴于点 $E$，交 $\mathit{AO}$的延长线于点 $D$， $\mathit{BE}=2\mathit{AC}$．

（1）用含 $m$的代数式表示 $\mathit{BE}$的长．

（2）当 $m=\sqrt{3}$时，判断点 $D$是否落在抛物线上，并说明理由．

（3）若 $\mathit{AG}//y$轴，交 $\mathit{OB}$于点 $F$，交 $\mathit{BD}$于点 $G$．

①若 $\mathit{\Delta DOE}$与 $\mathit{\Delta BGF}$的面积相等，求 $m$的值．

②连接 $\mathit{AE}$，交 $\mathit{OB}$于点 $M$，若 $\mathit{\Delta AMF}$与 $\mathit{\Delta BGF}$的面积相等，则 $m$的值是　　．

在平面直角坐标系中，点 $O$为原点，平行于 $x$轴的直线与抛物线 $L:y=a{x}^2$相交于 $A$， $B$两点（点 $B$在第一象限），点 $D$在 $\mathit{AB}$的延长线上．

（1）已知 $a=1$，点 $B$的纵坐标为2．

①如图1，向右平移抛物线 $L$使该抛物线过点 $B$，与 $\mathit{AB}$的延长线交于点 $C$，求 $\mathit{AC}$的长．

②如图2，若 $\mathit{BD}=\frac{1}{2}\mathit{AB}$，过点 $B$， $D$的抛物线 $L_2$，其顶点 $M$在 $x$轴上，求该抛物线的函数表达式．

（2）如图3，若 $\mathit{BD}=\mathit{AB}$，过 $O$， $B$， $D$三点的抛物线 $L_3$，顶点为 $P$，对应函数的二次项系数为 $a_3$，过点 $P$作 $\mathit{PE}//x$轴，交抛物线 $L$于 $E$， $F$两点，求 $\frac{a_3}{a}$的值，并直接写出 $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{EF}}$的值．

如图，已知二次函数 $y=-x^2+\mathit{bx}+c(b$， $c$为常数）的图象经过点 $A(3,1)$，点 $C(0,4)$，顶点为点 $M$，过点 $A$作 $\mathit{AB}//x$轴，交 $y$轴于点 $D$，交该二次函数图象于点 $B$，连接 $\mathit{BC}$．

（1）求该二次函数的解析式及点 $M$的坐标；

（2）若将该二次函数图象向下平移 $m(m>0)$个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在 $\mathit{\Delta ABC}$的内部（不包括 $\mathit{\Delta ABC}$的边界），求 $m$的取值范围；

（3）点 $P$是直线 $\mathit{AC}$上的动点，若点 $P$，点 $C$，点 $M$所构成的三角形与 $\mathit{\Delta BCD}$相似，请直接写出所有点 $P$的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．