初中数学待定系数法求二次函数解析式试题

已知函数 $y_1=a{x}^2+\mathit{bx}$， $y_2=\mathit{ax}+b(\mathit{ab}\ne 0)$．在同一平面直角坐标系中．

（1）若函数 $y_1$的图象过点 $(-1,0)$，函数 $y_2$的图象过点 $(1,2)$，求 $a$， $b$的值．

（2）若函数 $y_2$的图象经过 $y_1$的顶点．

①求证： $2a+b=0$；

②当 $1<x<\frac{3}{2}$时，比较 $y_1$， $y_2$的大小．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-3$过 $A(1,0)$、 $B(-3,0)$，直线 $\mathit{AD}$交抛物线于点 $D$，点 $D$的横坐标为 $-2$，点 $P(m,n)$是线段 $\mathit{AD}$上的动点，过点 $P$的直线垂直于 $x$轴，交抛物线于点 $Q$．

（1）求直线 $\mathit{AD}$及抛物线的解析式；

（2）求线段 $\mathit{PQ}$的长度 $l$与 $m$的关系式， $m$为何值时， $\mathit{PQ}$最长？

（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数） $R$，使得 $P$、 $Q$、 $D$、 $R$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 $R$的坐标；若不存在，说明理由．

已知：如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与坐标轴分别交于点 $A(0,6)$， $B(6,0)$， $C(-2,0)$，点 $P$是线段 $\mathit{AB}$上方抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点 $P$运动到什么位置时， $\mathit{\Delta PAB}$的面积有最大值？

（3）过点 $P$作 $x$轴的垂线，交线段 $\mathit{AB}$于点 $D$，再过点 $P$做 $\mathit{PE}//x$轴交抛物线于点 $E$，连接 $\mathit{DE}$，请问是否存在点 $P$使 $\mathit{\Delta PDE}$为等腰直角三角形？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，说明理由．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，已知抛物线的顶点坐标为 $(2,0)$，且经过点 $(4,1)$，如图，直线 $y=\frac{1}{4}x$与抛物线交于 $A$、 $B$两点，直线 $l$为 $y=-1$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在 $l$上是否存在一点 $P$，使 $\mathit{PA}+B$取得最小值？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）知 $F(x_0$， $y_0)$为平面内一定点， $M(m,n)$为抛物线上一动点，且点 $M$到直线 $l$的距离与点 $M$到点 $F$的距离总是相等，求定点 $F$的坐标．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\frac{3}{2}x+4$的对称轴是直线 $x=3$，且与 $x$轴相交于 $A$， $B$两点 $(B$点在 $A$点右侧）与 $y$轴交于 $C$点．

（1）求抛物线的解析式和 $A$、 $B$两点的坐标；

（2）若点 $P$是抛物线上 $B$、 $C$两点之间的一个动点（不与 $B$、 $C$重合），则是否存在一点 $P$，使 $\mathit{\Delta PBC}$的面积最大．若存在，请求出 $\mathit{\Delta PBC}$的最大面积；若不存在，试说明理由；

（3）若 $M$是抛物线上任意一点，过点 $M$作 $y$轴的平行线，交直线 $\mathit{BC}$于点 $N$，当 $\mathit{MN}=3$时，求 $M$点的坐标．

如图，对称轴为直线 $x=1$的抛物线 $y=x^2-\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A(x_1$， $0)$、 $B(x_2$， $0\left)\right(x_1<x_2)$两点，与 $y$轴交于 $C$点，且 $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=-\frac{2}{3}$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线顶点为 $D$，直线 $\mathit{BD}$交 $y$轴于 $E$点；

①设点 $P$为线段 $\mathit{BD}$上一点（点 $P$不与 $B$、 $D$两点重合），过点 $P$作 $x$轴的垂线与抛物线交于点 $F$，求 $\mathit{\Delta BDF}$面积的最大值；

②在线段 $\mathit{BD}$上是否存在点 $Q$，使得 $\angle \mathit{BDC}=\angle \mathit{QCE}$？若存在，求出点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-3$与 $x$轴交于点 $A(-3,0)$和点 $B(1,0)$，交 $y$轴于点 $C$，过点 $C$作 $\mathit{CD}//x$轴，交抛物线于点 $D$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若直线 $y=m(-3<m<0)$与线段 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BD}$分别交于 $G$、 $H$两点，过 $G$点作 $\mathit{EG}\perp x$轴于点 $E$，过点 $H$作 $\mathit{HF}\perp x$轴于点 $F$，求矩形 $\mathit{GEFH}$的最大面积；

（3）若直线 $y=\mathit{kx}+1$将四边形 $\mathit{ABCD}$分成左、右两个部分，面积分别为 $S_1$， $S_2$，且 $S_1:S_2=4:5$，求 $k$的值．

如图，抛物线顶点 $P(1,4)$，与 $y$轴交于点 $C(0,3)$，与 $x$轴交于点 $A$， $B$．

（1）求抛物线的解析式．

（2） $Q$是抛物线上除点 $P$外一点， $\mathit{\Delta BCQ}$与 $\mathit{\Delta BCP}$的面积相等，求点 $Q$的坐标．

（3）若 $M$， $N$为抛物线上两个动点，分别过点 $M$， $N$作直线 $\mathit{BC}$的垂线段，垂足分别为 $D$， $E$．是否存在点 $M$， $N$使四边形 $\mathit{MNED}$为正方形？如果存在，求正方形 $\mathit{MNED}$的边长；如果不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}(a\ne 0)$过点 $A(\sqrt{3}$， $-3)$和点 $B(3\sqrt{3}$， $0)$．过点 $A$作直线 $\mathit{AC}//x$轴，交 $y$轴于点 $C$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上取一点 $P$，过点 $P$作直线 $\mathit{AC}$的垂线，垂足为 $D$．连接 $\mathit{OA}$，使得以 $A$， $D$， $P$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta AOC}$相似，求出对应点 $P$的坐标；

（3）抛物线上是否存在点 $Q$，使得 $S_{\mathit{\Delta AOC}}=\frac{1}{3}{S}_{\mathit{\Delta AOQ}}$？若存在，求出点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图①，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象经过点 $A(0,3)$、 $B(1,0)$，其对称轴为直线 $l:x=2$，过点 $A$作 $\mathit{AC}//x$轴交抛物线于点 $C$， $\angle \mathit{AOB}$的平分线交线段 $\mathit{AC}$于点 $E$，点 $P$是抛物线上的一个动点，设其横坐标为 $m$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若动点 $P$在直线 $\mathit{OE}$下方的抛物线上，连接 $\mathit{PE}$、 $\mathit{PO}$，当 $m$为何值时，四边形 $\mathit{AOPE}$面积最大，并求出其最大值；

（3）如图②， $F$是抛物线的对称轴 $l$上的一点，在抛物线上是否存在点 $P$使 $\mathit{\Delta POF}$成为以点 $P$为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知二次函数 $y=a{x}^2-(2a-\frac{3}{4})x+3$的图象经过点 $A(4,0)$，与 $y$轴交于点 $B$．在 $x$轴上有一动点 $C(m$， $0\left)\right(0<m<4)$，过点 $C$作 $x$轴的垂线交直线 $\mathit{AB}$于点 $E$，交该二次函数图象于点 $D$．

（1）求 $a$的值和直线 $\mathit{AB}$的解析式；

（2）过点 $D$作 $\mathit{DF}\perp \mathit{AB}$于点 $F$，设 $\mathit{\Delta ACE}$， $\mathit{\Delta DEF}$的面积分别为 $S_1$， $S_2$，若 $S_1=4S_2$，求 $m$的值；

（3）点 $H$是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点 $G$是线段 $\mathit{AB}$上的动点，当四边形 $\mathit{DEGH}$是平行四边形，且 $▱\mathit{DEGH}$周长取最大值时，求点 $G$的坐标．

已知直线 $y=x+3$与 $x$轴、 $y$轴分别相交于 $A$、 $B$两点，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$经过 $A$、 $B$两点，点 $M$在线段 $\mathit{OA}$上，从 $O$点出发，向点 $A$以每秒1个单位的速度匀速运动；同时点 $N$在线段 $\mathit{AB}$上，从点 $A$出发，向点 $B$以每秒 $\sqrt{2}$个单位的速度匀速运动，连接 $\mathit{MN}$，设运动时间为 $t$秒

（1）求抛物线解析式；

（2）当 $t$为何值时， $\mathit{\Delta AMN}$为直角三角形；

（3）过 $N$作 $\mathit{NH}//y$轴交抛物线于 $H$，连接 $\mathit{MH}$，是否存在点 $H$使 $\mathit{MH}//\mathit{AB}$，若存在，求出点 $H$的坐标，若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$交 $x$轴于 $A$、 $B$两点，交 $y$轴于点 $C(0,-\frac{4}{3})$， $\mathit{OA}=1$， $\mathit{OB}=4$，直线 $l$过点 $A$，交 $y$轴于点 $D$，交抛物线于点 $E$，且满足 $\tan \angle \mathit{OAD}=\frac{3}{4}$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）动点 $P$从点 $B$出发，沿 $x$轴正方向以每秒2个单位长度的速度向点 $A$运动，动点 $Q$从点 $A$出发，沿射线 $\mathit{AE}$以每秒1个单位长度的速度向点 $E$运动，当点 $P$运动到点 $A$时，点 $Q$也停止运动，设运动时间为 $t$秒．

①在 $P$、 $Q$的运动过程中，是否存在某一时刻 $t$，使得 $\mathit{\Delta ADC}$与 $\mathit{\Delta PQA}$相似，若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由．

②在 $P$、 $Q$的运动过程中，是否存在某一时刻 $t$，使得 $\mathit{\Delta APQ}$与 $\mathit{\Delta CAQ}$的面积之和最大？若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由．

已知抛物线的顶点为 $(2,-4)$并经过点 $(-2,4)$，点 $A$在抛物线的对称轴上并且纵坐标为 $-\frac{3}{2}$，抛物线交 $y$轴于点 $N$．如图1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$为抛物线对称轴上的一点， $\mathit{\Delta ANP}$为等腰三角形，求点 $P$的坐标；

（3）如图2，点 $B$为直线 $y=-2$上的一个动点，过点 $B$的直线 $l$与 $\mathit{AB}$垂直

①求证：直线 $l$与抛物线总有两个交点；

②设直线 $l$与抛物线交于点 $C$、 $D$（点 $C$在左侧），分别过点 $C$、 $D$作直线 $y=-2$的垂线，垂足分别为 $E$、 $F$．求 $\mathit{EF}$的长．

如图，已知抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$与直线 $y=\frac{1}{2}x+3$交于 $A$， $B$两点，交 $x$轴于 $C$、 $D$两点，连接 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$，已知 $A(0,3)$， $C(-3,0)$．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）在抛物线对称轴 $l$上找一点 $M$，使 $|\mathit{MB}-\mathit{MD}|$的值最大，并求出这个最大值；

（3）点 $P$为 $y$轴右侧抛物线上一动点，连接 $\mathit{PA}$，过点 $P$作 $\mathit{PQ}\perp \mathit{PA}$交 $y$轴于点 $Q$，问：是否存在点 $P$，使得以 $A$， $P$， $Q$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ABC}$相似？若存在，请求出所有符合条件的点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．