初中数学等腰三角形的性质试题

是的直径，点是上一点，连接、，直线过点，满足．

（1）如图①，求证：直线是的切线；

（2）如图②，点在线段上，过点作于点，直线交于点、，连接并延长交直线于点，连接，且，若的半径为1，，求的值．

如图，半径为4的中，弦的长度为，点是劣弧上的一个动点，点是弦的中点，点是弦的中点，连接、、．

（1）求的度数；

（2）当点沿着劣弧从点开始，逆时针运动到点时，求的外心所经过的路径的长度；

（3）分别记，的面积为，，当时，求弦的长度．

如图， $\mathit{AB}$ 为半圆 $O$ 的直径， $M$ ， $C$ 是半圆上的三等分点， $\mathit{AB}=8$ ， $\mathit{BD}$ 与半圆 $O$ 相切于点 $B$ ．点 $P$ 为 $\stackrel{̂}{\mathit{AM}}$ 上一动点（不与点 $A$ ， $M$ 重合），直线 $\mathit{PC}$ 交 $\mathit{BD}$ 于点 $D$ ， $\mathit{BE}\perp \mathit{OC}$ 于点 $E$ ，延长 $\mathit{BE}$ 交 $\mathit{PC}$ 于点 $F$ ，则下列结论正确的是 　　．（写出所有正确结论的序号）

① $\mathit{PB}=\mathit{PD}$ ；② $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$ 的长为 $\frac{4}{3}\pi$ ；③ $\angle \mathit{DBE}=45°$ ；④ $\mathit{\Delta BCF}\backsim \mathit{\Delta PFB}$ ；⑤ $\mathit{CF}·\mathit{CP}$ 为定值．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$ 内接于 $\odot O$ ， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径， $\mathit{BD}$ 与 $\odot O$ 相切于点 $B$ ， $\mathit{BD}$ 交 $\mathit{AC}$ 的延长线于点 $D$ ， $E$ 为 $\mathit{BD}$ 的中点，连接 $\mathit{CE}$ ．

（1）求证： $\mathit{CE}$ 是 $\odot O$ 的切线．

（2）已知 $\mathit{BD}=3\sqrt{5}$ ， $\mathit{CD}=5$ ，求 $O$ ， $E$ 两点之间的距离．

如图， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径， $\mathit{AC}$ 是 $\odot O$ 的切线， $\mathit{BC}$ 交 $\odot O$ 于点 $E$ ．

（1）若 $D$ 为 $\mathit{AC}$ 的中点，证明： $\mathit{DE}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\mathit{CA}=6$ ， $\mathit{CE}=3.6$ ，求 $\odot O$ 的半径 $\mathit{OA}$ 的长．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$ 的外侧，作等边三角形 $\mathit{ADE}$ ，连接 $\mathit{BE}$ ， $\mathit{CE}$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta BAE}\cong \mathit{\Delta CDE}$ ；

（2）求 $\angle \mathit{AEB}$ 的度数．

如图所示，抛物线 $y=x^2-2x-3$ 与 $x$ 轴相交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴相交于点 $C$ ，点 $M$ 为抛物线的顶点．

（1）求点 $C$ 及顶点 $M$ 的坐标．

（2）若点 $N$ 是第四象限内抛物线上的一个动点，连接 $\mathit{BN}$ 、 $\mathit{CN}$ ，求 $\mathit{\Delta BCN}$ 面积的最大值及此时点 $N$ 的坐标．

（3）若点 $D$ 是抛物线对称轴上的动点，点 $G$ 是抛物线上的动点，是否存在以点 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $G$ 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点 $G$ 的坐标；若不存在，试说明理由．

（4）直线 $\mathit{CM}$ 交 $x$ 轴于点 $E$ ，若点 $P$ 是线段 $\mathit{EM}$ 上的一个动点，是否存在以点 $P$ 、 $E$ 、 $O$ 为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ABC}$ 相似．若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle B=\angle C$ ，过 $\mathit{BC}$ 的中点 $D$ 作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$ ， $\mathit{DF}\perp \mathit{AC}$ ，垂足分别为点 $E$ 、 $F$ ．

（1）求证： $\mathit{DE}=\mathit{DF}$ ；

（2）若 $\angle \mathit{BDE}=40°$ ，求 $\angle \mathit{BAC}$ 的度数．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$ 内接于 $\odot O$ ， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径．直线 $l$ 与 $\odot O$ 相切于点 $A$ ，在 $l$ 上取一点 $D$ 使得 $\mathit{DA}=\mathit{DC}$ ，线段 $\mathit{DC}$ ， $\mathit{AB}$ 的延长线交于点 $E$ ．

（1）求证：直线 $\mathit{DC}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\mathit{BC}=2$ ， $\angle \mathit{CAB}=30°$ ，求图中阴影部分的面积（结果保留 $\pi )$ ．

已知 $\mathit{\Delta ABC}$ 内接于 $\odot O$ ， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $\angle \mathit{ABC}$ 的平分线与 $\odot O$ 交于点 $D$ ，与 $\mathit{AC}$ 交于点 $E$ ，连接 $\mathit{CD}$ 并延长与 $\odot O$ 过点 $A$ 的切线交于点 $F$ ，记 $\angle \mathit{BAC}=\alpha$ ．

（1）如图1，若 $\alpha =60°$ ，

①直接写出 $\frac{\mathit{DF}}{\mathit{DC}}$ 的值为 　　；

②当 $\odot O$ 的半径为2时，直接写出图中阴影部分的面积为 　　；

（2）如图2，若 $\alpha <60°$ ，且 $\frac{\mathit{DF}}{\mathit{DC}}=\frac{2}{3}$ ， $\mathit{DE}=4$ ，求 $\mathit{BE}$ 的长．

如图，在中，，，则　．

在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，是的对角线，点在上，，，则的大小是　　．

如图所示，已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A(-1,0)$ ， $B(3,0)$ 两点，与 $y$ 轴的正半轴交于点 $C$ ，顶点为 $D$ ，则下列结论：

① $2a+b=0$ ；

② $2c<3b$ ；

③当 $\mathit{\Delta ABC}$ 是等腰三角形时， $a$ 的值有2个；

④当 $\mathit{\Delta BCD}$ 是直角三角形时， $a=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

其中正确的有 $($ 　　 $)$

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

如图， $\mathit{AC}$ 为 $\odot O$ 的直径， $\mathit{AP}$ 为 $\odot O$ 的切线， $M$ 是 $\mathit{AP}$ 上一点，过点 $M$ 的直线与 $\odot O$ 交于点 $B$ ， $D$ 两点，与 $\mathit{AC}$ 交于点 $E$ ，连接 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{AD}$ ， $\mathit{AB}=\mathit{BE}$ ．

（1）求证： $\mathit{AB}=\mathit{BM}$ ；

（2）若 $\mathit{AB}=3$ ， $\mathit{AD}=\frac{24}{5}$ ，求 $\odot O$ 的半径．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $\angle B$ 的平分线交 $\mathit{AC}$ 于 $D$ ， $\mathit{AE}//\mathit{BC}$ 交 $\mathit{BD}$ 的延长线于点 $E$ ， $\mathit{AF}\perp \mathit{AB}$ 交 $\mathit{BE}$ 于点 $F$ ．

（1）若 $\angle \mathit{BAC}=40°$ ，求 $\angle \mathit{AFE}$ 的度数；

（2）若 $\mathit{AD}=\mathit{DC}=2$ ，求 $\mathit{AF}$ 的长．