初中数学勾股定理试题

如图， $\odot O$的半径 $\mathit{OA}=2$， $B$是 $\odot O$上的动点（不与点 $A$重合），过点 $B$作 $\odot O$的切线 $\mathit{BC}$， $\mathit{BC}=\mathit{OA}$，连结 $\mathit{OC}$， $\mathit{AC}$．当 $\mathit{\Delta OAC}$是直角三角形时，其斜边长为　　．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{CD}$为中线，延长 $\mathit{CB}$至点 $E$，使 $\mathit{BE}=\mathit{BC}$，连结 $\mathit{DE}$， $F$为 $\mathit{DE}$中点，连结 $\mathit{BF}$．若 $\mathit{AC}=8$， $\mathit{BC}=6$，则 $\mathit{BF}$的长为 $($　　 $)$

A．2B．2.5C．3D．4

如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形 $\mathit{ABCD}$与正方形 $\mathit{EFGH}$．连结 $\mathit{EG}$， $\mathit{BD}$相交于点 $O$、 $\mathit{BD}$与 $\mathit{HC}$相交于点 $P$．若 $\mathit{GO}=\mathit{GP}$，则 $\frac{S_{\mathit{正方形}\mathit{ABCD}}}{S_{\mathit{正方形}\mathit{EFGH}}}$的值是 $($　　 $)$

A． $1+\sqrt{2}$B． $2+\sqrt{2}$C． $5-\sqrt{2}$D． $\frac{15}{4}$

在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片 $\mathit{ABC}$和 $\mathit{DEF}$拼在一起，使点 $A$与点 $F$重合，点 $C$与点 $D$重合（如图 $1)$，其中 $\angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{DFE}=90°$， $\mathit{BC}=\mathit{EF}=3\mathit{cm}$， $\mathit{AC}=\mathit{DF}=4\mathit{cm}$，并进行如下研究活动．

活动一：将图1中的纸片 $\mathit{DEF}$沿 $\mathit{AC}$方向平移，连结 $\mathit{AE}$， $\mathit{BD}$（如图 $2)$，当点 $F$与点 $C$重合时停止平移．

[思考]图2中的四边形 $\mathit{ABDE}$是平行四边形吗？请说明理由．

[发现]当纸片 $\mathit{DEF}$平移到某一位置时，小兵发现四边形 $\mathit{ABDE}$为矩形（如图 $3)$．求 $\mathit{AF}$的长．

活动二：在图3中，取 $\mathit{AD}$的中点 $O$，再将纸片 $\mathit{DEF}$绕点 $O$顺时针方向旋转 $\alpha$度 $(0⩽\alpha ⩽90)$，连结 $\mathit{OB}$， $\mathit{OE}$（如图 $4)$．

[探究]当 $\mathit{EF}$平分 $\angle \mathit{AEO}$时，探究 $\mathit{OF}$与 $\mathit{BD}$的数量关系，并说明理由．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$在 $\mathit{BC}$边上，连接 $\mathit{AE}$， $\angle \mathit{DAE}$的平分线 $\mathit{AG}$与 $\mathit{CD}$边交于点 $G$，与 $\mathit{BC}$的延长线交于点 $F$．设 $\frac{\mathit{CE}}{\mathit{EB}}=\lambda (\lambda >0)$．

（1）若 $\mathit{AB}=2$， $\lambda =1$，求线段 $\mathit{CF}$的长．

（2）连接 $\mathit{EG}$，若 $\mathit{EG}\perp \mathit{AF}$，

①求证：点 $G$为 $\mathit{CD}$边的中点．

②求 $\lambda$的值．

如图，在边长为 $2\sqrt{2}$的正方形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$， $F$分别是边 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$的中点，连接 $\mathit{EC}$， $\mathit{FD}$，点 $G$， $H$分别是 $\mathit{EC}$， $\mathit{FD}$的中点，连接 $\mathit{GH}$，则 $\mathit{GH}$的长度为　　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle A=90°$， $D$是 $\mathit{AB}$的中点，过点 $D$作 $\mathit{BC}$的平行线交 $\mathit{AC}$于点 $E$，作 $\mathit{BC}$的垂线交 $\mathit{BC}$于点 $F$，若 $\mathit{AB}=\mathit{CE}$，且 $\mathit{\Delta DFE}$的面积为1，则 $\mathit{BC}$的长为 $($　　 $)$

A． $2\sqrt{5}$B．5C． $4\sqrt{5}$D．10

如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， $\mathit{\Delta ABC}$的顶点 $A$， $C$均落在格点上，点 $B$在网格线上，且 $\mathit{AB}=\frac{5}{3}$．

（Ⅰ）线段 $\mathit{AC}$的长等于　　．

（Ⅱ）以 $\mathit{BC}$为直径的半圆与边 $\mathit{AC}$相交于点 $D$，若 $P$， $Q$分别为边 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$上的动点，当 $\mathit{BP}+\mathit{PQ}$取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点 $P$， $Q$，并简要说明点 $P$， $Q$的位置是如何找到的（不要求证明）　　．

如图，三角形纸片 $\mathit{ABC}$，点 $D$是 $\mathit{BC}$边上一点，连接 $\mathit{AD}$，把 $\mathit{\Delta ABD}$沿着 $\mathit{AD}$翻折，得到 $\mathit{\Delta AED}$， $\mathit{DE}$与 $\mathit{AC}$交于点 $G$，连接 $\mathit{BE}$交 $\mathit{AD}$于点 $F$．若 $\mathit{DG}=\mathit{GE}$， $\mathit{AF}=3$， $\mathit{BF}=2$， $\mathit{\Delta ADG}$的面积为2，则点 $F$到 $\mathit{BC}$的距离为 $($　　 $)$

A． $\frac{\sqrt{5}}{5}$B． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$C． $\frac{4\sqrt{5}}{5}$D． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是菱形，点 $H$为对角线 $\mathit{AC}$的中点，点 $E$在 $\mathit{AB}$的延长线上， $\mathit{CE}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $E$，点 $F$在 $\mathit{AD}$的延长线上， $\mathit{CF}\perp \mathit{AD}$，垂足为 $F$，

（1）若 $\angle \mathit{BAD}=60°$，求证：四边形 $\mathit{CEHF}$是菱形；

（2）若 $\mathit{CE}=4$， $\mathit{\Delta ACE}$的面积为16，求菱形 $\mathit{ABCD}$的面积．

已知四边形 $\mathit{ABCD}$是矩形，点 $E$是矩形 $\mathit{ABCD}$的边上的点，且 $\mathit{EA}=\mathit{EC}$．若 $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AC}=2\sqrt{10}$，则 $\mathit{DE}$的长是　 　．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是菱形，点 $H$为对角线 $\mathit{AC}$的中点，点 $E$在 $\mathit{AB}$的延长线上， $\mathit{CE}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $E$，点 $F$在 $\mathit{AD}$的延长线上， $\mathit{CF}\perp \mathit{AD}$，垂足为 $F$，

（1）若 $\angle \mathit{BAD}=60°$，求证：四边形 $\mathit{CEHF}$是菱形；

（2）若 $\mathit{CE}=4$， $\mathit{\Delta ACE}$的面积为16，求菱形 $\mathit{ABCD}$的面积．

已知四边形 $\mathit{ABCD}$是矩形，点 $E$是矩形 $\mathit{ABCD}$的边上的点，且 $\mathit{EA}=\mathit{EC}$．若 $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AC}=2\sqrt{10}$，则 $\mathit{DE}$的长是　 　．

如图所示， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{AD}$和 $\mathit{BC}$分别切 $\odot O$于 $A$， $B$两点， $\mathit{CD}$与 $\odot O$有公共点 $E$，且 $\mathit{AD}=\mathit{DE}$．

（1）求证： $\mathit{CD}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AB}=12$， $\mathit{BC}=4$，求 $\mathit{AD}$的长．

问题提出

（1）如图1，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}>\mathit{BC}$， $\angle \mathit{ACB}$的平分线交 $\mathit{AB}$于点 $D$．过点 $D$分别作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$， $\mathit{DF}\perp \mathit{BC}$．垂足分别为 $E$， $F$，则图1中与线段 $\mathit{CE}$相等的线段是　      　．

问题探究

（2）如图2， $\mathit{AB}$是半圆 $O$的直径， $\mathit{AB}=8$． $P$是 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$上一点，且 $\stackrel{̂}{\mathit{PB}}=2\stackrel{̂}{\mathit{PA}}$，连接 $\mathit{AP}$， $\mathit{BP}$． $\angle \mathit{APB}$的平分线交 $\mathit{AB}$于点 $C$，过点 $C$分别作 $\mathit{CE}\perp \mathit{AP}$， $\mathit{CF}\perp \mathit{BP}$，垂足分别为 $E$， $F$，求线段 $\mathit{CF}$的长．

问题解决

（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知 $\odot O$的直径 $\mathit{AB}=70m$，点 $C$在 $\odot O$上，且 $\mathit{CA}=\mathit{CB}$． $P$为 $\mathit{AB}$上一点，连接 $\mathit{CP}$并延长，交 $\odot O$于点 $D$．连接 $\mathit{AD}$， $\mathit{BD}$．过点 $P$分别作 $\mathit{PE}\perp \mathit{AD}$， $\mathit{PF}\perp \mathit{BD}$，垂足分别为 $E$， $F$．按设计要求，四边形 $\mathit{PEDF}$内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设 $\mathit{AP}$的长为 $x\left(m\right)$，阴影部分的面积为 $y\left(m^2\right)$．

①求 $y$与 $x$之间的函数关系式；

②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当 $\mathit{AP}$的长度为 $30m$时，整体布局比较合理．试求当 $\mathit{AP}=30m$时．室内活动区（四边形 $\mathit{PEDF})$的面积．