初中数学矩形的判定与性质试题

如图，菱形 ABCD的边长为2，∠ ABC＝60°，过点 D作 DE∥ AC， DE＝ $\frac{1}{2}$ AC，连接 AE，则△ ADE的周长为 　 　．

如图，，是的切线，，为切点，点在上，，于

（1）求证：；

（2）若，的半径为4，求四边形的周长（精确到0.1，

如图，在 中， ， ， ， ， ，点 在 上， 交 于点 ， 交 于点 ，当 时， 　　．

如图，把矩形纸片ABCD沿EF翻折，点A恰好落在BC边的A′处，若 $\mathit{AB}=\sqrt{3}$，∠EFA＝60°，则四边形A′B′EF的周长是（　　）

A．1+3 $\sqrt{3}$B．3+ $\sqrt{3}$C．4+ $\sqrt{3}$D．5+ $\sqrt{3}$

如图，矩形 的对角线 ， 相交于点 ， 关于 的对称图形为 ．

（1）求证：四边形 是菱形；

（2）连接 ，若 ， ．

①求 的值；

②若点 为线段 上一动点（不与点 重合），连接 ，一动点 从点 出发，以 的速度沿线段 匀速运动到点 ，再以 的速度沿线段 匀速运动到点 ，到达点 后停止运动，当点 沿上述路线运动到点 所需要的时间最短时，求 的长和点 走完全程所需的时间．

如图，抛物线 $y=a{x}^2-2\sqrt{3}x+c(a\ne 0)$ 过点 $O(0,0)$ 和 $A(6,0)$ ．点 $B$ 是抛物线的顶点，点 $D$ 是 $x$ 轴下方抛物线上的一点，连接 $\mathit{OB}$ ， $\mathit{OD}$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图①，当 $\angle \mathit{BOD}=30°$ 时，求点 $D$ 的坐标；

（3）如图②，在（2）的条件下，抛物线的对称轴交 $x$ 轴于点 $C$ ，交线段 $\mathit{OD}$ 于点 $E$ ，点 $F$ 是线段 $\mathit{OB}$ 上的动点（点 $F$ 不与点 $O$ 和点 $B$ 重合），连接 $\mathit{EF}$ ，将 $\mathit{\Delta BEF}$ 沿 $\mathit{EF}$ 折叠，点 $B$ 的对应点为点 $B^{\text{'}}$ ， $\mathit{\Delta EF}{B}^{\text{'}}$ 与 $\mathit{\Delta OBE}$ 的重叠部分为 $\mathit{\Delta EFG}$ ，在坐标平面内是否存在一点 $H$ ，使以点 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 $H$ 的坐标，若不存在，请说明理由．

能够完全重合的平行四边形纸片 $\mathit{ABCD}$ 和 $\mathit{AEFG}$ 按图①方式摆放，其中 $\mathit{AD}=\mathit{AG}=5$ ， $\mathit{AB}=9$ ．点 $D$ ， $G$ 分别在边 $\mathit{AE}$ ， $\mathit{AB}$ 上， $\mathit{CD}$ 与 $\mathit{FG}$ 相交于点 $H$ ．

【探究】求证：四边形 $\mathit{AGHD}$ 是菱形．

【操作一】固定图①中的平行四边形纸片 $\mathit{ABCD}$ ，将平行四边形纸片 $\mathit{AEFG}$ 绕着点 $A$ 顺时针旋转一定的角度，使点 $F$ 与点 $C$ 重合，如图②．则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为 　    　．

【操作二】将图②中的平行四边形纸片 $\mathit{AEFG}$ 绕着点 $A$ 继续顺时针旋转一定的角度，使点 $E$ 与点 $B$ 重合，连接 $\mathit{DG}$ ， $\mathit{CF}$ ，如图③，若 $\sin \angle \mathit{BAD}=\frac{4}{5}$ ，则四边形 $\mathit{DCFG}$ 的面积为 　　．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$ 的边长为6， $M$ 为 $\mathit{AB}$ 的中点， $\mathit{\Delta MBE}$ 为等边三角形，过点 $E$ 作 $\mathit{ME}$ 的垂线分别与边 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{BC}$ 相交于点 $F$ 、 $G$ ，点 $P$ 、 $Q$ 分别在线段 $\mathit{EF}$ 、 $\mathit{BC}$ 上运动，且满足 $\angle \mathit{PMQ}=60°$ ，连接 $\mathit{PQ}$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta MEP}\cong \mathit{\Delta MBQ}$ ．

（2）当点 $Q$ 在线段 $\mathit{GC}$ 上时，试判断 $\mathit{PF}+\mathit{GQ}$ 的值是否变化？如果不变，求出这个值，如果变化，请说明理由．

（3）设 $\angle \mathit{QMB}=\alpha$ ，点 $B$ 关于 $\mathit{QM}$ 的对称点为 $B^{\text{'}}$ ，若点 $B^{\text{'}}$ 落在 $\mathit{\Delta MPQ}$ 的内部，试写出 $\alpha$ 的范围，并说明理由．

如图，半径为10的扇形 $\mathit{AOB}$ 中， $\angle \mathit{AOB}=90°$ ， $C$ 为 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$ 上一点， $\mathit{CD}\perp \mathit{OA}$ ， $\mathit{CE}\perp \mathit{OB}$ ，垂足分别为 $D$ 、 $E$ ．若 $\angle \mathit{CDE}$ 为 $36°$ ，则图中阴影部分的面积为 $($ 　　 $)$

A．

$10\pi$

B．

$9\pi$

C．

$8\pi$

D．

$6\pi$

定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为"直角等邻对补"四边形，简称"直等补"四边形．

根据以上定义，解决下列问题：

（1）如图1，正方形 $\mathit{ABCD}$ 中， $E$ 是 $\mathit{CD}$ 上的点，将 $\mathit{\Delta BCE}$ 绕 $B$ 点旋转，使 $\mathit{BC}$ 与 $\mathit{BA}$ 重合，此时点 $E$ 的对应点 $F$ 在 $\mathit{DA}$ 的延长线上，则四边形 $\mathit{BEDF}$ 为"直等补"四边形，为什么？

（2）如图2，已知四边形 $\mathit{ABCD}$ 是"直等补"四边形， $\mathit{AB}=\mathit{BC}=5$ ， $\mathit{CD}=1$ ， $\mathit{AD}>\mathit{AB}$ ，点 $B$ 到直线 $\mathit{AD}$ 的距离为 $\mathit{BE}$ ．

①求 $\mathit{BE}$ 的长；

②若 $M$ 、 $N$ 分别是 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{AD}$ 边上的动点，求 $\mathit{\Delta MNC}$ 周长的最小值．

菱形 $\mathit{ABCD}$ 的对角线 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ， $0°<\angle \mathit{ABO}⩽60°$ ，点 $G$ 是射线 $\mathit{OD}$ 上一个动点，过点 $G$ 作 $\mathit{GE}//\mathit{DC}$ 交射线 $\mathit{OC}$ 于点 $E$ ，以 $\mathit{OE}$ ， $\mathit{OG}$ 为邻边作矩形 $\mathit{EOGF}$ ．

（1）如图1，当点 $F$ 在线段 $\mathit{DC}$ 上时，求证： $\mathit{DF}=\mathit{FC}$ ；

（2）若延长 $\mathit{AD}$ 与边 $\mathit{GF}$ 交于点 $H$ ，将 $\mathit{\Delta GDH}$ 沿直线 $\mathit{AD}$ 翻折 $180°$ 得到 $\mathit{\Delta MDH}$ ．

①如图2，当点 $M$ 在 $\mathit{EG}$ 上时，求证：四边形 $\mathit{EOGF}$ 为正方形；

②如图3，当 $\tan \angle \mathit{ABO}$ 为定值 $m$ 时，设 $\mathit{DG}=k·\mathit{DO}$ ， $k$ 为大于0的常数，当且仅当 $k>2$ 时，点 $M$ 在矩形 $\mathit{EOGF}$ 的外部，求 $m$ 的值．

如图， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径， $E$ ， $C$ 是 $\odot O$ 上两点，且 $\stackrel{̂}{\mathit{EC}}=\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$ ，连接 $\mathit{AE}$ ， $\mathit{AC}$ ．过点 $C$ 作 $\mathit{CD}\perp \mathit{AE}$ 交 $\mathit{AE}$ 的延长线于点 $D$ ．

（1）判定直线 $\mathit{CD}$ 与 $\odot O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）若 $\mathit{AB}=4$ ， $\mathit{CD}=\sqrt{3}$ ，求图中阴影部分的面积．

如图，已知矩形中，，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上（不与两端点重合），过点作于点，连接，给出下列判断：

①；

②折痕的长度的取值范围为；

③当四边形为正方形时，为的中点；

④若，则折叠后重叠部分的面积为．

其中正确的是　　．（写出所有正确判断的序号）

如图1，已知 $\mathit{\Delta ABC}\cong \mathit{\Delta EBD}$ ， $\angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{EDB}=90°$ ，点 $D$ 在 $\mathit{AB}$ 上，连接 $\mathit{CD}$ 并延长交 $\mathit{AE}$ 于点 $F$ ．

（1）猜想：线段 $\mathit{AF}$ 与 $\mathit{EF}$ 的数量关系为 　    　；

（2）探究：若将图1的 $\mathit{\Delta EBD}$ 绕点 $B$ 顺时针方向旋转，当 $\angle \mathit{CBE}$ 小于 $180°$ 时，得到图2，连接 $\mathit{CD}$ 并延长交 $\mathit{AE}$ 于点 $F$ ，则（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（3）拓展：图1中，过点 $E$ 作 $\mathit{EG}\perp \mathit{CB}$ ，垂足为点 $G$ ．当 $\angle \mathit{ABC}$ 的大小发生变化，其它条件不变时，若 $\angle \mathit{EBG}=\angle \mathit{BAE}$ ， $\mathit{BC}=6$ ，直接写出 $\mathit{AB}$ 的长．

如图，在平行四边形中，对角线与交于点，点，分别为、的中点，延长至点，使，连接．

（1）求证：；

（2）若，且，，求四边形的面积．