初中数学正多边形和圆试题

如图，将边长为3的正六边形铁丝框 $\mathit{ABCDEF}$变形为以点 $A$为圆心， $\mathit{AB}$为半径的扇形（忽略铁丝的粗细）．则所得扇形 $\mathit{AFB}$（阴影部分）的面积为　　．

如图，正六边形ABCDEF内接于半径为3的圆O，则劣弧AB的长度为　　．

如图，正方形ABCD内接于半径为2的⊙O，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．π+1B．π+2C．π﹣1D．π﹣2

同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为 　　．

如图，以正六边形 ABCDEF的中心为坐标原点建立平面直角坐标系，顶点 C、 F在 x轴上，顶点 A的坐标为（1， ），则顶点 D的坐标为 　 　．

如图，⊙ O的外切正六边形 ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．

$\sqrt{3}-\frac{\pi }{2}$

B．

$\sqrt{3}-\frac{3}{2}\pi$

C．

$2-\frac{\pi }{3}$

D．

$\sqrt{3}-\frac{\pi }{3}$

若正六边形的半径长为4，则它的边长等于　　

A．4B．2C． $2\sqrt{3}$D． $4\sqrt{3}$

如图，∠MON＝60°，作边长为1的正六边形A₁B₁C₁D₁E₁F₁，边A₁B₁、F₁E₁分别在射线OM、ON上，边C₁D₁所在的直线分别交OM、ON于点A₂、F₂，以A₂F₂为边作正六边形A₂B₂C₂D₂E₂F₂，边C₂D₂所在的直线分别交OM、ON于点A₃、F₃，再以A₃F₃为边作正六边形A₃B₃C₃D₃E₃F₃，…，依此规律，经第n次作图后，点B_n到ON的距离是　　．

某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五边形的边及相关线段进行研究，发现多处出现著名的黄金分割比 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx 0.618$ ．如图，圆内接正五边形 $\mathit{ABCDE}$ ，圆心为 $O$ ， $\mathit{OA}$ 与 $\mathit{BE}$ 交于点 $H$ ， $\mathit{AC}$ 、 $\mathit{AD}$ 与 $\mathit{BE}$ 分别交于点 $M$ 、 $N$ ．根据圆与正五边形的对称性，只对部分图形进行研究．（其它可同理得出）

（1）求证： $\mathit{\Delta ABM}$ 是等腰三角形且底角等于 $36°$ ，并直接说出 $\mathit{\Delta BAN}$ 的形状；

（2）求证： $\frac{\mathit{BM}}{\mathit{BN}}=\frac{\mathit{BN}}{\mathit{BE}}$ ，且其比值 $k=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ ；

（3）由对称性知 $\mathit{AO}\perp \mathit{BE}$ ，由（1）（2）可知 $\frac{\mathit{MN}}{\mathit{BM}}$ 也是一个黄金分割数，据此求 $\sin 18°$ 的值．

下列说法正确的是 $($ 　　 $)$

① $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ 的值大于 $\frac{1}{2}$ ；

②正六边形的内角和是 $720°$ ，它的边长等于半径；

③从一副扑克牌中随机抽取一张，它是黑桃的概率是 $\frac{1}{4}$ ；

④甲、乙两人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是 $s^2\_甲$ ， $s^2\_乙$ ，则乙的射击成绩比甲稳定．

A．

①②③④

B．

①②④

C．

①④

D．

②③

如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度 $b=3\mathit{cm}$，则螺帽边长 $a=$　　 $\mathit{cm}$．

如图，在边长为 $2\mathit{cm}$的正六边形 $\mathit{ABCDEF}$中，点 $P$在 $\mathit{BC}$上，则 $\mathit{\Delta PEF}$的面积为　　 $c{m}^2$．

10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内， $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 、 $O$ 均是正六边形的顶点．则点 $O$ 是下列哪个三角形的外心 $($ 　　 $)$

A．

$\mathit{\Delta AED}$

B．

$\mathit{\Delta ABD}$

C．

$\mathit{\Delta BCD}$

D．

$\mathit{\Delta ACD}$

据《汉书律历志》记载：“量者，龠 $($yuè $)$、合、升、斗、斛 $($hú $)$也”斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜 $($huán $)$其外，旁有庣 $($tiāo $)$焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆”，如图所示．

问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的周长为　　尺．（结果用最简根式表示）

一个蜘蛛网如图所示，若多边形 $\mathit{ABCDEFGHI}$为正九边形，其中心点为点 $O$，点 $M$、 $N$分别在射线 $\mathit{OA}$、 $\mathit{OC}$上，则 $\angle \mathit{MON}=$　　度．