初中数学正多边形和圆试题

观察下列结论：

（1）如图①，在正三角形 $\mathit{ABC}$中，点 $M$， $N$是 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$上的点，且 $\mathit{AM}=\mathit{BN}$，则 $\mathit{AN}=\mathit{CM}$， $\angle \mathit{NOC}=60°$；

（2）如图2，在正方形 $\mathit{ABCD}$中，点 $M$， $N$是 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$上的点，且 $\mathit{AM}=\mathit{BN}$，则 $\mathit{AN}=\mathit{DM}$， $\angle \mathit{NOD}=90°$；

（3）如图③，在正五边形 $\mathit{ABCDE}$中点 $M$， $N$是 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$上的点，且 $\mathit{AM}=\mathit{BN}$，则 $\mathit{AN}=\mathit{EM}$， $\angle \mathit{NOE}=108°$；

$\dots$

根据以上规律，在正 $n$边形 $A_1{A}_2{A}_3{A}_4\dots A_n$中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点 $M$， $N$是 $A_1{A}_2$， $A_2{A}_3$上的点，且 $A_{1}M=A_{2}N$， $A_{1}N$与 $A_{n}M$相交于 $O$．也会有类似的结论，你的结论是　　．

设边长为 $a$ 的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为 $h$ 、 $r$ 、 $R$ ，则下列结论不正确的是 $($ 　　 $)$

A．

$h=R+r$

B．

$R=2r$

C．

$r=\frac{\sqrt{3}}{4}a$

D．

$R=\frac{\sqrt{3}}{3}a$

如图，正五边形 $\mathit{ABCDE}$内接于 $\odot O$，点 $P$为 $\widehat{\mathit{DE}}$上一点（点 $P$与点 $D$，点 $E$不重合），连接 $\mathit{PC}$、 $\mathit{PD}$， $\mathit{DG}\perp \mathit{PC}$，垂足为 $G$， $\angle \mathit{PDG}$等于　　度．

刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积 $S_1$来近似估计 $\odot O$的面积 $S$，设 $\odot O$的半径为1，则 $S-S_1=$　　．

如图， $A$、 $B$、 $C$、 $D$、 $E$是 $\odot O$上的5等分点，连接 $\mathit{AC}$、 $\mathit{CE}$、 $\mathit{EB}$、 $\mathit{BD}$、 $\mathit{DA}$，得到一个五角星图形和五边形 $\mathit{MNFGH}$．

（1）计算 $\angle \mathit{CAD}$的度数；

（2）连接 $\mathit{AE}$，证明： $\mathit{AE}=\mathit{ME}$；

（3）求证： $M{E}^2=\mathit{BM}·\mathit{BE}$．

已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是　　．

如图，五边形 $\mathit{ABCDE}$是 $\odot O$的内接正五边形， $\mathit{AF}$是 $\odot O$的直径，则 $\angle \mathit{BDF}$的度数是　　 $°$．

若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为　　．

图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{4}{5}$

B．

$\frac{3}{4}$

C．

$\frac{2}{3}$

D．

$\frac{1}{2}$

如图，已知 $\odot O$ 的内接正六边形 $\mathit{ABCDEF}$ 的边心距 $\mathit{OM}=2$ ，则该圆的内接正三角形 $\mathit{ACE}$ 的面积为 $($ 　　 $)$

A．

2

B．

4

C．

$6\sqrt{3}$

D．

$4\sqrt{3}$

如图，正五边形 $\mathit{ABCDE}$ 内接于 $\odot O$ ， $P$ 为 $\widehat{\mathit{DE}}$ 上的一点（点 $P$ 不与点 $D$ 重合），则 $\angle \mathit{CPD}$ 的度数为 $($ 　　 $)$

A．

$30°$

B．

$36°$

C．

$60°$

D．

$72°$

如图，已知正五边形 $\mathit{ABCDE}$ 内接于 $\odot O$ ，连结 $\mathit{BD}$ ，则 $\angle \mathit{ABD}$ 的度数是 $($ 　　 $)$

A．

$60°$

B．

$70°$

C．

$72°$

D．

$144°$

如图，正六边形 $\mathit{ABCDEF}$ 的边长为1，以点 $A$ 为圆心， $\mathit{AB}$ 的长为半径，作扇形 $\mathit{ABF}$ ，则图中阴影部分的面积为 　　（结果保留根号和 $\pi )$ ．

我们规定：一个正 $n$边形 $(n$为整数， $n⩾4)$的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正 $n$边形的“特征值”，记为 ${\lambda }_n$，那么 ${\lambda }_6=$　　．

若正六边形的边长为3，则其较长的一条对角线长为　　．