初中数学弧长的计算试题

如图，边长为 $2\sqrt{3}\mathit{cm}$的正六边形螺帽，中心为点 $O$， $\mathit{OA}$垂直平分边 $\mathit{CD}$，垂足为 $B$， $\mathit{AB}=17\mathit{cm}$，用扳手拧动螺帽旋转 $90°$，则点 $A$在该过程中所经过的路径长为　　 $\mathit{cm}$．

已知 $\angle \mathit{MPN}$的两边分别与 $\odot O$相切于点 $A$， $B$， $\odot O$的半径为 $r$．

（1）如图1，点 $C$在点 $A$， $B$之间的优弧上， $\angle \mathit{MPN}=80°$，求 $\angle \mathit{ACB}$的度数；

（2）如图2，点 $C$在圆上运动，当 $\mathit{PC}$最大时，要使四边形 $\mathit{APBC}$为菱形， $\angle \mathit{APB}$的度数应为多少？请说明理由；

（3）若 $\mathit{PC}$交 $\odot O$于点 $D$，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含 $r$的式子表示）．

如图，图1是由若干个相同的图形（图 $2)$组成的美丽图案的一部分，图2中，图形的相关数据：半径 $\mathit{OA}=2\mathit{cm}$， $\angle \mathit{AOB}=120°$．则图2的周长为　　 $\mathit{cm}$（结果保留 $\pi )$．

如图， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径，点 $C$在 $\odot O$外， $\angle \mathit{ABC}$的平分线与 $\odot O$交于点 $D$， $\angle C=90°$．

（1） $\mathit{CD}$与 $\odot O$有怎样的位置关系？请说明理由；

（2）若 $\angle \mathit{CDB}=60°$， $\mathit{AB}=6$，求 $\stackrel{̂}{\mathit{AD}}$的长．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=m$， $\mathit{BC}=n$，将此矩形绕点 $B$顺时针方向旋转 $\theta (0°<\theta <90°)$得到矩形 $A_{1}B{C}_1{D}_1$，点 $A_1$在边 $\mathit{CD}$上．

（1）若 $m=2$， $n=1$，求在旋转过程中，点 $D$到点 $D_1$所经过路径的长度；

（2）将矩形 $A_{1}B{C}_1{D}_1$继续绕点 $B$顺时针方向旋转得到矩形 $A_{2}B{C}_2{D}_2$，点 $D_2$在 $\mathit{BC}$的延长线上，设边 $A_{2}B$与 $\mathit{CD}$交于点 $E$，若 $\frac{A_{1}E}{\mathit{EC}}=\sqrt{6}-1$，求 $\frac{n}{m}$的值．

一个扇形的圆心角是 $120°$．它的半径是 $3\mathit{cm}$．则扇形的弧长为　　 $\mathit{cm}$．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$是 $\odot O$的内接三角形， $\angle \mathit{BAC}=60°$， $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$的长是 $\frac{4\pi }{3}$，则 $\odot O$的半径是　　．

已知扇形的弧长为 $2\pi$，圆心角为 $60°$，则它的半径为　　．

如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪， $A$， $B$是圆上的点， $O$为圆心， $\angle \mathit{AOB}=120°$，从 $A$到 $B$只有路 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路 $\mathit{AB}$．通过计算可知，这些市民其实仅仅少走了　　步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据： $\sqrt{3}\approx 1.732$， $\pi$取 $3.142)$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\angle A=30°$， $\mathit{AB}=4$，以点 $B$为圆心， $\mathit{BC}$长为半径画弧，交边 $\mathit{AB}$于点 $D$，则 $\stackrel{̂}{\mathit{CD}}$的长为 $($　　 $)$

A． $\frac{1}{6}\pi$B． $\frac{1}{3}\pi$C． $\frac{2}{3}\pi$D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi$

如图，已知 $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $C$， $D$是 $\odot O$上的点， $\mathit{OC}//\mathit{BD}$，交 $\mathit{AD}$于点 $E$，连接 $\mathit{BC}$．

（1）求证： $\mathit{AE}=\mathit{ED}$；

（2）若 $\mathit{AB}=10$， $\angle \mathit{CBD}=36°$，求 $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}$的长．

我们把1，1，2，3，5，8，13，21， $\dots$这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作 $90°$圆弧 $\stackrel{̂}{P_1{P}_2}$， $\stackrel{̂}{P_2{P}_3}$， $\stackrel{̂}{P_3{P}_4}$， $\dots$得到斐波那契螺旋线，然后顺次连接 $P_1{P}_2$， $P_2{P}_3$， $P_3{P}_4$， $\dots$得到螺旋折线（如图），已知点 $P_1(0,1)$， $P_2(-1,0)$， $P_3(0,-1)$，则该折线上的点 $P_9$的坐标为 $($　　 $)$

A． $(-6,24)$B． $(-6,25)$C． $(-5,24)$D． $(-5,25)$

如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$的夹角为 $120°$， $\mathit{AB}$长为30厘米，则 $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$的长为　　厘米．（结果保留 $\pi )$

如图，正 $\mathit{\Delta ABO}$的边长为2， $O$为坐标原点， $A$在 $x$轴上， $B$在第二象限， $\mathit{\Delta ABO}$沿 $x$轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得到△ $A_1{B}_{1}O$，则翻滚3次后点 $B$的对应点的坐标是　　，翻滚2017次后 $\mathit{AB}$中点 $M$经过的路径长为　　．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle A=90°$， $\mathit{BC}=2\sqrt{2}$，以 $\mathit{BC}$的中点 $O$为圆心 $\odot O$分别与 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$相切于 $D$， $E$两点，则 $\stackrel{̂}{\mathit{DE}}$的长为 $($　　 $)$

A． $\frac{\pi }{4}$B． $\frac{\pi }{2}$C． $\pi$D． $2\pi$