高中数学平面解析几何的产生──数与形的结合试题

在抛物线y²=16x内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________ 

设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，　一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为－4，求此椭圆方程、离心率、准线方程及准线间的距离.

如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F₁，F₂在x轴上，长轴A₁A₂的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA₁|∶|A₁F₁|＝2∶1．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
  
(Ⅱ)若直线l₁：x＝m(|m|＞1)，P为l₁上的动点，使∠F₁PF₂最大的点P记为Q，求点Q的坐标(用m表示)．

已知双曲线的方程为, 直线通过其右焦点F₂，且与双曲线的右支交于A、B两点，将A、B与双曲线的左焦点F₁连结起来，求|F₁A|·|F₁B|的最小值

设F₁、F₂为椭圆的两个焦点，P为上一点，已知P、F₁、F₂是一个直角三角形的三个顶点，且｜PF₁｜＞｜PF₂｜，求的值.

已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左．右焦点为F₁、F₂，离心率为e. 直线l：y＝ex＋a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F₁关于直线l的对称点，设＝λ.
（Ⅰ）证明：λ＝1－e²；
（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF₁F₂是等腰三角形.

过椭圆的焦点F(c,  0)的弦中最短弦长是         (     )

A．

B．

C．

D．

椭圆上有两点P、Q ,O为原点,若OP、OQ斜率之积为,则 为                                                    (      )

A． 4

B． 64

C． 20

D．不确定

（本小题满分15分）如图，已知圆O：x²+y²=2交x轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为的椭圆，其右焦点为F．若点P(－1,1)为圆O上一点，连结PF，过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的右准线l于点Q．（1）求椭圆C的标准方程；
（2）证明：直线PQ与圆O相切．

（本小题满分12分）
已知点，点在轴上，点在轴的正半轴上，点在直线上，且
满足.
（Ⅰ）当点在轴上移动时，求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）设、为轨迹上两点，且>1, >0,，求实数，
使，且.

已知椭圆的离心率为，直线:与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.
（I）求椭圆的方程；
（II）设椭圆的左焦点为，右焦点，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程；
（III）设与轴交于点，不同的两点在上，且满足求的取值范围.

（本小题满分12分）

20090327

已知点A是抛物线y²＝2px（p>0）上一点，F为抛物线的焦点，准线l与x轴交于点K，已知｜AK｜＝｜AF｜，三角形AFK的面积等于8．

  （1）求p的值；
（2）过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线l₁，l₂，与抛物线相交得两条弦，两条弦
的中点分别为G，H.求｜GH｜的最小值．

（本小题满分13分）如图，在矩形ABCD中，已知A（2，0）、C（－2，2），点P在BC边上移动，线段OP的垂直平分线交y轴于点E，点M满足

（Ⅰ）求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）已知点F（0，），过点F的直线l交点M的轨迹于Q、R两点，且求实数的取值范围.

已知点是中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的一个顶点，离心率为，椭圆的左右焦点分别为F₁和F₂ 。
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）点M在椭圆上，求⊿MF₁F₂面积的最大值；
（Ⅲ）试探究椭圆上是否存在一点P，使，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

(本题满分13分) 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、 三点. （1）求椭圆的方程：（2）若点D为椭圆上不同于、的任意一点，，当内切圆的面积最大时。求内切圆圆心的坐标；（3）若直线与椭圆交于、两点，证明直线与直线的交点在定直线上并求该直线的方程．