高中数学解答题

某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x_i，y_i)(i=1，2，…，20)，其中x_i和y_i分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得 $\underset{i=1}{\overset{20}{\sum }}{x}_i=60$， $\underset{i=1}{\overset{20}{\sum }}{y}_i=1200$， $\underset{i=1}{\overset{20}{\sum }}（x_i-\bar{x}{)}^2=80$， $\underset{i=1}{\overset{20}{\sum }}（y_i-\bar{y}{)}^2=9000$， $\underset{i=1}{\overset{20}{\sum }}（x_i-\bar{x})（y_i-\bar{y})=800$.

（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；

（2）求样本(x_i，y_i)(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；

（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.

附：相关系数r= $\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}（x_i-\bar{x})（y_i-\bar{y})}{\sqrt{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}（x_i-\bar{x}{)}^2\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}（y_i-\bar{y}{)}^2}}$，≈1.414.

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ${\mathit{cos}}^2(\frac{\pi }{2}+A)+\mathit{cos}A=\frac{5}{4}$．

（1）求A；

（2）若 $b-c=\frac{\sqrt{3}}{3}a$，证明：△ABC是直角三角形．

某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：

锻炼人次 空气质量等级	[0，200]	(200，400]	(400，600]
1（优）	2	16	25
2（良）	5	10	12
3（轻度污染）	6	7	8
4（中度污染）	7	2	0

（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；

（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天"空气质量好"；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天"空气质量不好"．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

	人次≤400	人次>400
空气质量好
空气质量不好

附： $K^2=\frac{n(\mathit{ad}-\mathit{bc}{)}^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ ，

P( K ^2≥ k)	0.050	0.010	0.001
k	3 841	6.635	10.828

设等比数列{ a _n}满足 $a_1+a_2=4$ ， $a_3-a_1=8$ ．

（1）求{ a _n}的通项公式；

（2）记 $S_n$ 为数列{log ₃ a _n}的前 n项和．若 $S_m+{S_{m+}}_1={S_m}_{+3}$ ，求 m．

已知函数f（x）=x²+2x+alnx（a∈R）．
（1）当时a=﹣4时，求f（x）的最小值；
（2）若函数f（x）在区间（0，1）上为单调函数，求实数a的取值范围．

已知各项均为正数的数列{a_n}中，a₁=1，S_n是数列{a_n}的前n项和，对任意n∈N^*，有 2S_n=2．函数f（x）=x²+x，数列{b_n}的首项b₁=．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令求证：{c_n}是等比数列并求{c_n}通项公式；
（Ⅲ）令d_n=a_n•c_n，（n为正整数），求数列{d_n}的前n项和T_n．

已知数列{a_n}的前n项和S_n，a₁=﹣，S_n+（n≥2）．
（1）计算S₁，S₂，S₃，猜想S_n的表达式并用数学归纳法证明；
（2）设b_n=，数列的{b_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＞﹣．

若函数f（x）=log_ax（0＜a＜1）在区间[2，8]上的最大值与最小值之差为2，求a的值．

已知集合A={x|3≤x＜7}，B={x|x²﹣12x+20＜0}，C={x|x＜a}．
（1）A∪B；（∁_RA）∩B；
（2）若A∩C=A，a的取值范围．

已知函数f（x）=的定义域为A，集合B={x|（x﹣m﹣3）（x﹣m+3）≤0}．
（1）求A和f（x）的值域C；
（2）若A∩B=[2，3]，求实数m的值；
（3）若C⊂∁_RB，求实数m的取值范围．

已知函数f（x）=ax²+bx+c，满足f（1）=﹣，且3a＞2c＞2b．
（1）求证：a＞0时，的取值范围；
（2）证明函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点；
（3）设x₁，x₂是函数f（x）的两个零点，求|x₁﹣x₂|的取值范围．

已知函数f（x）=log₂（m+）（m∈R，且m＞0）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）在（4，+∞）上单调递增，求m的取值范围．

已知函数f（x）=lg（x²﹣5x+6）和的定义域分别是集合A、B，
（1）求集合A，B；
（2）求集合A∪B，A∩B．

已知集合A={x|a﹣1＜x＜2a+1}，B={x|0＜x＜1}
（1）若a=，求A∩B．
（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．

已知函数f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
（1）求k的值；
（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=x+a没有交点，求a的取值范围；
（3）若函数h（x）=4^{f（x）+{\;}^{\frac{1}{2}}x}+m•2^x﹣1，x∈[0，log₂3]，是否存在实数m使得h（x）最小值为0，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．