高中数学解答题

如图是某直三棱柱被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．

（Ⅰ）求出该几何体的体积；
（Ⅱ）试问在边上是否存在点N，使平面？ 若存在，确定点N的位置（不需证明）；若不存在，请说明理由．

如图所示，直线与双曲线及其渐近线依次交于、、、四点，记．

（Ⅰ）若直线的方程为，求；
（Ⅱ）请根据（Ⅰ）的计算结果猜想的关系，并证明之．

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为，左顶点和上、下顶点连成的三角形为正三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若对于点，存在轴上的另一点，使得过点的任意直线，当与椭圆交于相异两点、时，为定值，求的取值范围．

已知：直线的图象不经过第二象限，：方程表示焦点在轴上的椭圆，若为假命题，求实数的取值范围．

在平面直角坐标系xoy中，点P到两点的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．
（1）写出C的方程；
（2）设直线与C交于A，B两点，k为何值时以线段AB为直径的圆过原点？

求下列曲线的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是，且双曲线过点，求双曲线的标准方程；
（2）求以原点为顶点，以坐标轴为对称轴，且焦点在直线上的抛物线的标准方程．

在平面直角坐标系xoy中，点A，B的坐标分别是，直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积是．
（1）求 M的轨迹C方程；
（2）若直线l经过点，与轨迹C有且仅有一个公共点，求直线l的方程．

已知c>0，设命题p：函数为减函数，命题q：当时，函数恒成立，如果p或q为真命题，p且q为假命题，求c的取值范围．

已知；，若是的充分而不必要条件，求实数的范围．

已知F₁、F₂是椭圆的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，点B也在椭圆上，且满足（O是坐标原点），若椭圆的离心率等于
（1）求直线AB的方程；
（2）若三角形ABF₂的面积等于，求椭圆的方程．

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点，点为椭圆上的动点，求最大值及相应的点坐标．

已知函数（为常数），其图象是曲线．
（1）当时，求函数的单调减区间；
（2）设函数的导函数为，若存在唯一的实数，使得与同时成立，求实数的取值范围；
（3）已知点为曲线上的动点，在点处作曲线的切线与曲线交于另一点，在点处作曲线的切线，设切线的斜率分别为．问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

已知函数.
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）若对任意的，恒有成立，求的取值范围；
（3）证明：.

已知函数，（为常数）.
（1）若在处的切线过点（0，-5），求的值；
（2）设函数的导函数为，若关于的方程有唯一解，求实数的取值范围；
（3）令，若函数存在极值，且所有极值之和大于，求实数的取值范围.

已知函数满足，且当时，，当时，的最大值为-4.
（1）求实数的值；
（2）设，函数.若对任意，总存在，使，求实数的取值范围.