高中数学解答题

（本小题满分12分）
一个多面体的直观图和三视图如图所示
(Ⅰ) 求证:；
(Ⅱ) 若为上一点,且,求二面角的大小．

（本小题满分12分）
某班级甲组有名学生，其中有名女生；乙组有名学生，其中有名女生.
（Ⅰ）若从两组中各抽取两人进行心理健康测试，求每组至少抽到一名女生的概率；
（Ⅱ）现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽
取名学生进行心理健康测试.
（）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（）记表示抽取的名学生中男生人数，求的分布列及数学期望.

（本小题满分12分）
已知数列是等比数列，且公比，为其前项和，,．
(Ⅰ) 求数列的通项公式；
(Ⅱ) 令，的前项和为，求．

设函数
（1）证明
（2）设为f(x)的一个极值点，证明
（3）设f(x)在（0，+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排列为a₁,a₂,…a_n
证明：

某学科的试卷中共有12道单项选择题，（每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项是正确的，答对得5分，不答或答错得0分）。某考生每道题都给出了答案，已确定有8道题答案是正确的，而其余的题中，有两道题每题都可判断其两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜。对于这12道选择题，试求：
（1）该考生得分为60分的概率；
（2）该考生所得分数ξ的分布列及数学期望Eξ．

如图，已知三棱锥O－ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=2，OB=3，OC=4，E是OC的中点．
（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；
（2）求二面角A－BE－C的余弦值．

已知直线的极坐标方程为，曲线C的参数方程为，设点是曲线C上的任意一点，求到直线的距离的最大值．

已知矩阵=，求的特征值，及对应的特征向量．

（本小题16分）
已知函数，为正常数。
（1）若，且，求函数的单调增区间；
（2）若，且对任意，，都有，求的的取值范围。

（本小题16分）
已知数列满足：（为常数），数列中，。
（1）求；
（2）证明：数列为等差数列；
（3）求证：数列中存在三项构成等比数列时，为有理数。

（本小题16分）
已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为 轴，焦点 在直线 上，直线 与抛物线相交于 两点， 为抛物线上一动点（不同于 ），直线 分别交该抛物线的准线 于点 。
（1）求抛物线方程；
（2）求证：以 为直径的圆 经过焦点 ，且当 为抛物线的顶点时，圆 与直线 相切。

（本小题14分）
已知某种稀有矿石的价值（单位：元）与其重量（单位：克）的平方成正比，且克该种矿石的价值为元。
（1）写出（单位：元）关于（单位：克）的函数关系式；
（2）若把一块该种矿石切割成重量比为的两块矿石，求价值损失的百分率；
（3）把一块该种矿石切割成两块矿石时，切割的重量比为多少时，价值损失的百分率最大。（注：价值损失的百分率；在切割过程中的重量损耗忽略不计）

（本小题14分）
已知函数 的图像如图所示，直线 是其两条对称轴。
（1）求函数 的解析式并写出函数的单调增区间；
（2）若 ，且 ，求 的值。

（本小题14分）
如图，在直三棱柱中，，点在边上，。
（1）求证：平面；
（2）如果点是的中点，求证：平面 .

（本小题10分）已知曲线，过作轴的平行线交曲线于，过作曲线的切线与轴交于，过作与轴平行的直线交曲线于，照此下去，得到点列，和，设，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：；
（3）求证：曲线与它在点处的切线，以及直线所围成的平面图形的面积与正整数的值无关．