高中数学解答题

在直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，曲线 $C_1$的方程为 $y=k\left|x\right|+2$.以坐标原点为极点， $x$轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_2$的极坐标方程为 ${\rho }^2+2\rho \mathit{cos}\theta -3=0$.

（1）求 $C_2$的直角坐标方程；

（2）若 $C_1$与 $C_2$有且仅有三个公共点，求 $C_1$的方程.

已知函数 $f\left(x\right)=a{e}^x-\mathit{lnx}-1$．

（1）设 $x=2$是 $f\left(x\right)$的极值点．求 $a$，并求 $f\left(x\right)$的单调区间；

（2）证明：当 $a\ge \frac{1}{e}$时， $f\left(x\right)\ge 0$．

设抛物线 $C：\mathit{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}}{y}^2=2x$，点 $A\left(2\hspace{0.33em}，\mathit{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}}0\right)$， $B\left(-2\hspace{0.33em}，\mathit{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}}0\right)$，过点 $A$的直线 $l$与 $C$交于 $M$， $N$两点．

（1）当 $l$与 $x$轴垂直时，求直线 $\mathit{BM}$的方程；

（2）证明： $\angle \mathit{ABM}=\angle \mathit{ABN}$．

某家庭记录了未使用节水龙头 $50$ 天的日用水量数据（单位： $m^3$ ）和使用了节水龙头 $50$ 天的日用水量数据，得到频数分布表如下：

未使用节水龙头 $50$ 天的日用水量频数分布表

日用水量	$[0,0.1)$	$[0.1,0.2)$	$[0.2,0.3)$	$[0.3,0.4)$	$[0.4,0.5)$	$[0.5,0.6)$	$[0.6,0.7)$
频数	$1$	$3$	$2$	$4$	$9$	$26$	$5$

使用了节水龙头 $50$ 天的日用水量频数分布表

日用水量	$[0,0.1)$	$[0.1,0.2)$	$[0.2,0.3)$	$[0.3,0.4)$	$[0.4,0.5)$	$[0.5,0.6)$
频数	$1$	$5$	$13$	$10$	$16$	$5$

（1）在答题卡上作出使用了节水龙头 $50$ 天的日用水量数据的频率分布直方图：

（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 $0.35m^3$ 的概率；

（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按 $365$ 天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCM}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=3$ ， $\angle \mathit{ACM}=90°$ ，以 $\mathit{AC}$ 为折痕将△ $\mathit{ACM}$ 折起，使点 $M$ 到达点 $D$ 的位置，且 ．

（1）证明：平面 $\mathit{ACD}\perp$ 平面 $\mathit{ABC}$ ；

（2） $Q$ 为线段 $\mathit{AD}$ 上一点， $P$ 为线段 $\mathit{BC}$ 上一点，且 ，求三棱锥 的体积．

已知数列 $\left\{a_n\right\}$满足 $a_1=1$， $n{a}_{n+1}=2\left(n+1\right)a_n$，设 $b_n=\frac{a_n}{n}$．

（1）求 $b_1\hspace{0.33em}，\mathit{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}}{b}_2\hspace{0.33em}，\mathit{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}}{b}_3$；

（2）判断数列 $\left\{b_n\right\}$是否为等比数列，并说明理由；

（3）求 $\left\{a_n\right\}$的通项公式．

设函数 $f\left(x\right)=5-\left|x+a\right|-\left|x-2\right|$.

（1）当 $a=1$时，求不等式 $f\left(x\right)\ge 0$的解集；

（2）若 $f\left(x\right)\le 1$恒成立，求 $a$的取值范围.

在直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，曲线 $C$的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=2\mathit{cos\theta }\\ y=4\mathit{sin\theta }\end{array}\right.$（ $\theta$为参数），直线 $l$的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=1+\mathit{tcos\alpha }\\ y=2+\mathit{tsin\alpha }\end{array}\right.$（ $t$为参数）.

（1）求 $C$和 $l$的直角坐标方程；

（2）若曲线 $C$截直线 $l$所得线段的中点坐标为 $\left(1,2\right)$，求 $l$的斜率．

已知函数 $f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3-a\left(x^2+x+1\right)$．

（1）若 $a=3$，求 $f\left(x\right)$的单调区间；

（2）证明： $f\left(x\right)$只有一个零点．

设抛物线 $C：\mathit{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}}{y}^2=4x$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 且斜率为 $k(k>0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $\left|\mathit{AB}\right|\hspace{0.33em}=8$ ．

（1）求 $l$ 的方程；

（2）求过点 $A$ ， $B$ 且与 $C$ 的准线相切的圆的方程．

如图，在三棱锥 $P-\mathit{ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{BC}=2\sqrt{2}$ ， $\mathit{PA}=\mathit{PB}=\mathit{PC}=\mathit{AC}=4$ ， $O$ 为 $\mathit{AC}$ 的中点．

（1）证明： $\mathit{PO}\perp$ 平面 $\mathit{ABC}$ ；

（2）若点 $M$ 在棱 $\mathit{BC}$ 上，且 $\mathit{MC}=2\mathit{MB}$ ，求点 $C$ 到平面 $\mathit{POM}$ 的距离．

下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额 $y$ （单位：亿元）的折线图．

   为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了 $y$ 与时间变量 $t$ 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量 $t$ 的值依次为 $\alpha +\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2},即\alpha =\frac{\pi }{6}$ ）建立模型①： $\stackrel{̂}{y}=-30.4+13.5t$ ；根据2010年至2016年的数据（时间变量 $t$ 的值依次为 $\left\{\begin{array}{c}x\ge 2\\ x-2+2x-2>2\end{array}\right.$ ）建立模型②： $\stackrel{̂}{y}=99+17.5t$ ．

（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

记 $S_n$为等差数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和，已知，．

    （1）求 $\left\{a_n\right\}$的通项公式；

（2）求 $S_n$，并求 $S_n$的最小值．

设函数 $f\left(x\right)=\left|2x+1\right|+\left|x-1\right|$ ．

（1）画出 的图像；

（2）当 $x\in [0,+\infty )$ ， $f\left(x\right)\le \mathit{ax}+b$ ，求 $a+b$ 的最小值．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中， $\odot O$的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=\mathit{cos}\theta ，\\ y=\mathit{sin}\theta \end{array}\right.$（ $\theta$为参数），过点 $\left(0\hspace{0.33em}，-\sqrt{2}\right)$且倾斜角为 $\alpha$的直线 $l$与 $\odot O$交于 $A\hspace{0.33em}，\mathit{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}}B$两点．

（1）求 $\alpha$的取值范围；

（2）求 $\mathit{AB}$中点 $P$的轨迹的参数方程．