高中数学试题

已知点 $A\left(1,\sqrt{5}\right)$在抛物线C: $y^2=2px$上，则 $A$到 $C$的准线的距离为＿＿＿＿＿＿．

设， $B$为双曲线 $x^2-\frac{y^2}{9}=1$上两点，下列四个点中，可为线段 $AB$中点的是　　

A．

$\left(1,1\right)$

B．

$\left(-1,2\right)$

C．

$\left(1,3\right)$

D．

$\left(-1,-4\right)$

已知实数 $x$， $y$满足 $x^2+y^2-4x-2y-4=0$，则 $x-y$的最大值是　　

A．

$1+\frac{3\sqrt{2}}{2}$

B．

$4$

C．

$1+3\sqrt{2}$

D．

$7$

已知函数 $f\left(x\right)=\sin \left(\omega x+\phi \right)$在区间 $\left(\frac{\mathrm{\pi }}{6},\frac{2\mathrm{\pi }}{3}\right)$单调递增，直线 $x=\frac{\mathrm{\pi }}{6}$和 $x=\frac{2\mathrm{\pi }}{3}$为函数 $y=f\left(x\right)$的图像的两条对称轴，则 $f\left(-\frac{5\mathrm{\pi }}{12}\right)=$（ ）

A．

$-\frac{\sqrt{3}}{2}$

B．

$-\frac{1}{2}$

C．

$\frac{1}{2}$

D．

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

某学校举办作文比赛，共 $6$个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为　　

A．

$\frac{5}{6}$

B．

$\frac{2}{3}$

C．

$\frac{1}{2}$

D．

$\frac{1}{3}$

函数 $f\left(x\right)=x^3+ax+2$存在 $3$个零点，则 $a$的取值范围是　　

A．

$\left(-\infty ,-2\right)$

B．

$\left(-\infty ,-3\right)$

C．

$\left(-4,-1\right)$

D．

$\left(-3,0\right)$

设 $O$为平面坐标系的坐标原点，在区域 $\left\{\overline{)\left(x,y\right)}1⩽x^2+y^2⩽4\right\}$内随机取一点，记该点为 $A$，则直线 $OA$的倾斜角不大于 $\frac{\mathrm{\pi }}{4}$的概率为　　

A．

$\frac{1}{8}$

B．

$\frac{1}{6}$

C．

$\frac{1}{4}$

D．

$\frac{1}{2}$

正方形 $ABCD$的边长是 $2$， $E$是 $AB$的中点，则 $\overrightarrow{EC}·\overrightarrow{ED}=$（ ）

A．

$\sqrt{5}$

B．

$3$

C．

$2\sqrt{5}$

D．

$5$

已知 $f\left(x\right)=\frac{x{e}^x}{e^{ax}-1}$是偶函数，则 $a=$（ ）

A．

$-2$

B．

$-1$

C．

$1$

D．

$2$

在 $△ABC$中，内角 $A,B,C$的对边分别是 $a,b,c$，若 $a\cos B-b\cos A=c$，且 $C=\frac{\mathrm{\pi }}{5}$，则 $\angle B=$（ ）

A．

$\frac{\mathrm{\pi }}{10}$

B．

$\frac{\mathrm{\pi }}{5}$

C．

$\frac{3\mathrm{\pi }}{10}$

D．

$\frac{2\mathrm{\pi }}{5}$

如图，网格纸上绘制的是一个零件的三视图，网格小正方形的边长为 $1$，则该零件的表面积为　　

A．

$24$

B．

$26$

C．

$28$

D．

$30$

设全集 $U=\left\{0，1，2，4，6，8\right\}$，集合 $M=\left\{0,4,6\right\}$，，1， $N=\left\{0,1,6\right\}$，则 $M\cup C_{U}N=$（ ）

A．

$\left\{0,2,4,6,8\right\}$

B．

$\left\{0,1,4,6,8\right\}$

C．

$\left\{1,2,4,6,8\right\}$

D．

$\cup$

$\left|2+i^2+2i^3\right|=$（ ）

A．

$1$

B．

$2$

C．

$\sqrt{5}$

D．

$5$

已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的公差 $d\in (0,\pi ]$ ，数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $b_n=\sin \left(a_n\right)$ ，集合 $S=\left\{x\right|x=b_n,n\in N^{*}\}$ ．

（1）若 $a_1=0,d=\frac{2\pi }{3}$ ，求集合 $S$ ；

（2）若 $a_1=\frac{\pi }{2}$ ，求 $d$ 使得集合 $S$ 恰好有两个元素；

（3）若集合 $S$ 恰好有三个元素： $b_{n+T}=b_n$，T是不超过7的正整数，求T的所有可能的值．

已知抛物线方程 $y^2=4x$ ， $F$ 为焦点， $P$ 为抛物线准线上一点， $Q$ 为线段 $\mathit{PF}$ 与抛物线的交点，定义： $d\left(P\right)=\frac{\left|\mathit{PF}\right|}{\left|\mathit{FQ}\right|}$ ．

（1）当 $P(-1,-\frac{8}{3})$ 时，求 $d\left(P\right)$ ；

（2）证明：存在常数 $a$ ，使得 $2d\left(P\right)=\left|\mathit{PF}\right|+a$ ；

（3） $P_1$ ， $P_2$ ， $P_3$ 为抛物线准线上三点，且 $\left|P_1{P}_2\right|=\left|P_2{P}_3\right|$ ，判断 $d\left(P_1\right)+d\left(P_3\right)$ 与 $2d\left(P_2\right)$ 的关系．