初中数学有理数的混合运算试题

计算： $2^3\times (1-\frac{1}{4})\times 0.5$．

某市前年的年均浓度为50微克立方米，去年比前年下降了，如果今年的年均浓度比去年也下降，那么今年的年均浓度将是　　微克立方米．

若 $a$与 $b$互为相反数， $c$与 $d$互为倒数，则 $a+b+3\mathit{cd}=$　　．

下列计算正确的是 $($ 　　 $)$

A．	${(-\frac{1}{3})}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^0=\frac{7}{6}$	B．	$\sqrt{8}-\sqrt{2}=\sqrt{6}$
C．	$a^3+a^2=a^5$	D．	${(-a^3)}^2=a^6$

对于任意实数 $a$， $b$，定义关于“ $\otimes$”的一种运算如下： $a\otimes b=2a+b$．例如 $3\otimes 4=2\times 3+4=10$．

（1）求 $2\otimes (-5)$的值；

（2）若 $x\otimes (-y)=2$，且 $2y\otimes x=-1$，求 $x+y$的值．

有个填写运算符号的游戏：在“1□2□6□9”中的每个□内，填入，，，中的某一个（可重复使用），然后计算结果．

（1）计算：；

（2）若□，请推算□内的符号；

（3）在“1□2□”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数．

为了鼓励居民节约用水，某自来水公司采取分段计费，每月每户用水不超过10吨，每吨2.2元；超过10吨的部分，每吨加收1.3元．小明家4月份用水15吨，应交水费　　元．

据国家统计局数据，2018年全年国内生产总值为90.3万亿，比2017年增长 $6.6\%$ ．假设国内生产总值的年增长率保持不变，则国内生产总值首次突破100万亿的年份是 $($ 　　 $)$

A．

2019年

B．

2020年

C．

2021年

D．

2022年

观察下列等式：

$\frac{1}{1\times 2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

$\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

$\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

$\dots$

请按上述规律，写出第 $n$个式子的计算结果 $(n$为正整数）　   　．（写出最简计算结果即可）

如图，某学校"桃李餐厅"把 $\mathit{WIFI}$ 密码做成了数学题．小红在餐厅就餐时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了"桃李餐厅"的网络．那么她输入的密码是 　　．

阅读以下材料：

苏格兰数学家纳皮尔 $(J$． $\mathit{Npler}$， $1550-1617$年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉 $(\mathit{Evler}$， $1707-1783$年）才发现指数与对数之间的联系．

对数的定义：一般地，若 $a^x=N(a>0$且 $a\ne 1)$，那么 $x$叫做以 $a$为底 $N$的对数，记作 $x={\log }_{a}N$，比如指数式 $2^4=16$可以转化为对数式 $4={\log }_{2}16$，对数式 $2={\log }_{3}9$可以转化为指数式 $3^2=9$．

我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：

${\log }_a(M\cdot N)={\log }_{a}M+{\log }_{a}N(a>0$， $a\ne 1$， $M>0$， $N>0)$，理由如下：

设 ${\log }_{a}M=m$， ${\log }_{a}N=n$，则 $M=a^m$， $N=a^n$，

$\therefore M\cdot N=a^m\cdot a^n=a^{m+n}$，由对数的定义得 $m+n={\log }_a(M\cdot N)$．

又 $\because m+n={\log }_{a}M+{\log }_{a}N$，

$\therefore {\log }_a(M\cdot N)={\log }_{a}M+{\log }_{a}N$．

根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：

（1）填空：① ${\log }_{2}32=$　　，② ${\log }_{3}27=$　　，③ ${\log }_{7}1=$　　；

（2）求证： ${\log }_a\frac{M}{N}={\log }_{a}M-{\log }_{a}N(a>0$， $a\ne 1$， $M>0$， $N>0)$；

（3）拓展运用：计算 ${\log }_{5}125+{\log }_{5}6-{\log }_{5}30$．

（1）计算： ${(-4)}^2\times {(-\frac{1}{2})}^3-(-4+1)$．

（2）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．

$\frac{x^2-9}{x^2+6x+9}-\frac{2x+1}{2x+6}$

$=\frac{(x+3)(x-3)}{{(x+3)}^2}-\frac{2x+1}{2(x+3)}\dots$第一步

$=\frac{x-3}{x+3}-\frac{2x+1}{2(x+3)}\dots$第二步

$=\frac{2(x-3)}{2(x+3)}-\frac{2x+1}{2(x+3)}\dots$第三步

$=\frac{2x-6-(2x+1)}{2(x+3)}\dots$第四步

$=\frac{2x-6-2x+1}{2(x+3)}\dots$第五步

$=-\frac{5}{2x+6}\dots$第六步

任务一：填空：

①以上化简步骤中，第　　步是进行分式的通分，通分的依据是　　．或填为：　　；

②第　　步开始出现错误，这一步错误的原因是　　；

任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果；

任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．

我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为       　个．

计算： $-5\times 2+3÷\frac{1}{3}-(-1)$．

计算：　　．