初中数学反比例函数图象上点的坐标特征解答题

如图，直线 $y＝\mathit{ax}+b$与反比例函数 $y=\frac{m}{x}(x>0)$的图象交于A（1，4），B（4，n）两点，与x轴、y轴分别交于C、D两点．

（1）m＝　 　，n＝　 　；若 $M（x_1，y_1\mathit{），}N（x_2，y_2）$是反比例函数图象上两点，且 $0＜x_1＜x_2$，则y₁　 　y₂（填“＜”或“＝”或“＞”）；

（2）若线段CD上的点P到x轴、y轴的距离相等，求点P的坐标．

如图，一次函数 $y=\mathit{kx}+b(k\ne 0)$的图象与反比例函数 $y=\frac{a}{x}(a\ne 0)$的图象在第二象限交于点 $A(m,2)$．与 $x$轴交于点 $C(-1,0)$．过点 $A$作 $\mathit{AB}\perp x$轴于点 $B$， $\mathit{\Delta ABC}$的面积是3．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）若直线 $\mathit{AC}$与 $y$轴交于点 $D$，求 $\mathit{\Delta BCD}$的面积．

设 P（ x，0）是 x轴上的一个动点，它与原点的距离为 y ₁．

（1）求 y ₁关于 x的函数解析式，并画出这个函数的图象；

（2）若反比例函数 y ₂＝ $\frac{k}{x}$ 的图象与函数 y ₁的图象相交于点 A，且点 A的纵坐标为2．

①求 k的值；

②结合图象，当 y ₁＞ y ₂时，写出 x的取值范围．

如图， $\angle \mathit{AOB}=90°$，反比例函数 $y=-\frac{2}{x}(x<0)$的图象过点 $A(-1,a)$，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k>0,x>0)$的图象过点 $B$，且 $\mathit{AB}//x$轴．

（1）求 $a$和 $k$的值；

（2）过点 $B$作 $\mathit{MN}//\mathit{OA}$，交 $x$轴于点 $M$，交 $y$轴于点 $N$，交双曲线 $y=\frac{k}{x}$于另一点 $C$，求 $\mathit{\Delta OBC}$的面积．

如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A（ $\sqrt{3}$，1）在反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的图象上．

（1）求反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的表达式；

（2）在x轴的负半轴上存在一点P，使得S_△AOP＝ $\frac{1}{2}$S_△AOB，求点P的坐标；

（3）若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE．直接写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图象上，说明理由．

如图，已知反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的图象经过点 $A(4,m)$， $\mathit{AB}\perp x$轴，且 $\mathit{\Delta AOB}$的面积为2．

（1）求 $k$和 $m$的值；

（2）若点 $C(x,y)$也在反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的图象上，当 $-3⩽x⩽-1$时，求函数值 $y$的取值范围．

阅读理解：

材料一：若三个非零实数 $x$ ， $y$ ， $z$ 满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数 $x$ ， $y$ ， $z$ 构成"和谐三数组"．

材料二：若关于 $x$ 的一元二次方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c=0(a\ne 0)$ 的两根分别为 $x_1$ ， $x_2$ ，则有 $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ ， $x_1·x_2=\frac{c}{a}$ ．

问题解决：

（1）请你写出三个能构成"和谐三数组"的实数 　 　；

（2）若 $x_1$ ， $x_2$ 是关于 $x$ 的方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c=0(a$ ， $b$ ， $c$ 均不为 $0)$ 的两根， $x_3$ 是关于 $x$ 的方程 $\mathit{bx}+c=0(b$ ， $c$ 均不为 $0)$ 的解．求证： $x_1$ ， $x_2$ ， $x_3$ 可以构成"和谐三数组"；

（3）若 $A(m,y_1)$ ， $B(m+1,y_2)$ ， $C(m+3,y_3)$ 三个点均在反比例函数 $y=\frac{4}{x}$ 的图象上，且三点的纵坐标恰好构成"和谐三数组"，求实数 $m$ 的值．

如图，在平面直角坐标系中， $\text{Rt}\Delta \text{AOB}$的斜边 $\mathit{OA}$在 $x$轴的正半轴上， $\angle \mathit{OBA}=90°$，且 $\tan \angle \mathit{AOB}=\frac{1}{2}$， $\mathit{OB}=2\sqrt{5}$，反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的图象经过点 $B$．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）若 $\mathit{\Delta AMB}$与 $\mathit{\Delta AOB}$关于直线 $\mathit{AB}$对称，一次函数 $y=\mathit{mx}+n$的图象过点 $M$、 $A$，求一次函数的表达式．

如图，在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，点 $A$ ， $B$ 在函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$ 的图象上（点 $B$ 的横坐标大于点 $A$ 的横坐标），点 $A$ 的坐标为 $(2,4)$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{AD}\perp x$ 轴于点 $D$ ，过点 $B$ 作 $\mathit{BC}\perp x$ 轴于点 $C$ ，连接 $\mathit{OA}$ ， $\mathit{AB}$ ．

（1）求 $k$ 的值．

（2）若 $D$ 为 $\mathit{OC}$ 中点，求四边形 $\mathit{OABC}$ 的面积．

如图，在平面直角坐标系中，菱形 $\mathit{OBCD}$的边 $\mathit{OB}$在 $x$轴上，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象经过菱形对角线的交点 $A$，且与边 $\mathit{BC}$交于点 $F$，点 $A$的坐标为 $(4,2)$．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）求点 $F$的坐标．

如图，直线 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}$与 $x$， $y$轴分别交于点 $A$， $B$，与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k>0)$图象交于点 $C$， $D$，过点 $A$作 $x$轴的垂线交该反比例函数图象于点 $E$．

（1）求点 $A$的坐标．

（2）若 $\mathit{AE}=\mathit{AC}$．

①求 $k$的值．

②试判断点 $E$与点 $D$是否关于原点 $O$成中心对称？并说明理由．

如图，点 $A(2,n)$和点 $D$是反比例函数 $y=\frac{m}{x}(m>0,x>0)$图象上的两点，一次函数 $y=\mathit{kx}+3(k\ne 0)$的图象经过点 $A$，与 $y$轴交于点 $B$，与 $x$轴交于点 $C$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp x$轴，垂足为 $E$，连接 $\mathit{OA}$， $\mathit{OD}$．已知 $\mathit{\Delta OAB}$与 $\mathit{\Delta ODE}$的面积满足 $S_{\mathit{\Delta OAB}}:S_{\mathit{\Delta ODE}}=3:4$．

（1） $S_{\mathit{\Delta OAB}}=$　    　， $m=$　    　；

（2）已知点 $P(6,0)$在线段 $\mathit{OE}$上，当 $\angle \mathit{PDE}=\angle \mathit{CBO}$时，求点 $D$的坐标．

如图1，一次函数 $y=\mathit{kx}-3(k\ne 0)$的图象与 $y$轴交于点 $A$，与反比例函数 $y=\frac{4}{x}(x>0)$的图象交于点 $B(4,b)$．

（1） $b=$　     　； $k=$　    　；

（2）点 $C$是线段 $\mathit{AB}$上的动点（与点 $A$、 $B$不重合），过点 $C$且平行于 $y$轴的直线 $l$交这个反比例函数的图象于点 $D$，求 $\mathit{\Delta OCD}$面积的最大值；

（3）将（2）中面积取得最大值的 $\mathit{\Delta OCD}$沿射线 $\mathit{AB}$方向平移一定的距离，得到△ $O\text{'}C\text{'}D\text{'}$，若点 $O$的对应点 $O\text{'}$落在该反比例函数图象上（如图 $2)$，则点 $D\text{'}$的坐标是　 　．

如图，已知平行四边形 $\mathit{OABC}$中，点 $O$为坐标原点，点 $A(3,0)$， $C(1,2)$，函数 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$的图象经过点 $C$．

（1）求 $k$的值及直线 $\mathit{OB}$的函数表达式：

（2）求四边形 $\mathit{OABC}$的周长．

如图，已知一次函数 $y_1=\mathit{kx}+b$ 与反比例函数 $y_2=\frac{m}{x}$ 的图象在第一、三象限分别交于 $A(6,1)$ ， $B(a,-3)$ 两点，连接 $\mathit{OA}$ ， $\mathit{OB}$ ．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2） $\mathit{\Delta AOB}$ 的面积为 　 　；

（3）直接写出 $y_1>y_2$ 时 $x$ 的取值范围．