初中数学反比例函数图象上点的坐标特征解答题

如图，反比例函数与一次函数的图象在第二象限的交点为，在第四象限的交点为，直线为坐标原点）与函数的图象交于另一点．过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两直线相交于点，的面积为6．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）求点，的坐标和的面积．

如图，平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中， $▱\mathit{OABC}$ 的边 $\mathit{OC}$ 在 $x$ 轴上，对角线 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{OB}$ 交于点 $M$ ，函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$ 的图象经过点 $A$ $(3,4)$ 和点 $M$ ．

（1）求 $k$ 的值和点 $M$ 的坐标；

（2）求 $▱\mathit{OABC}$ 的周长．

（1）阅读理解

如图，点，在反比例函数的图象上，连接，取线段的中点．分别过点，，作轴的垂线，垂足为，，，交反比例函数的图象于点．点，，的横坐标分别为，，．

小红通过观察反比例函数的图象，并运用几何知识得出结论：

，

由此得出一个关于，，，之间数量关系的命题：

若，则　　．

（2）证明命题

小东认为：可以通过“若，则”的思路证明上述命题．

小晴认为：可以通过“若，，且，则”的思路证明上述命题．

请你选择一种方法证明（1）中的命题．

如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点与坐标原点重合，其边长为2，点，点分别在轴，轴的正半轴上，函数的图象与交于点，函数为常数，的图象经过点，与交于点，与函数的图象在第三象限内交于点，连接、．

（1）求函数的表达式，并直接写出、两点的坐标；

（2）求的面积．