教室里的饮水机接通电源就进入自动程序,开机加热时每分钟上升10℃,加热到100℃停止加热,水温开始下降,此时水温 y(℃)与开机后用时 x( min)成反比例关系,直至水温降至30℃,饮水机关机,饮水机关机后即刻自动开机,重复上述自动程序.若在水温为30℃时接通电源,水温 y(℃)与时间 x( min)的关系如图所示:
(1)分别写出水温上升和下降阶段 y与 x之间的函数关系式;
(2)怡萱同学想喝高于50℃的水,请问她最多需要等待多长时间?
一般情况下,中学生完成数学家庭作业时,注意力指数随时间 x(分钟)的变化规律如图所示(其中 AB、 BC为线段, CD为双曲线的一部分).
(1)分别求出线段 AB和双曲线 CD的函数关系式;
(2)若学生的注意力指数不低于40为高效时间,根据图中信息,求出一般情况下,完成一份数学家庭作业的高效时间是多少分钟?
某药品研究所开发一种抗菌新药,经多年动物实验,首次用于临床人体试验,测得成人服药后血液中药物浓度 y(微克/毫升)与服药时间 x小时之间函数关系如图所示(当4≤ x≤10时, y与 x成反比例).
(1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段 y与 x之间的函数关系式.
(2)问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时?
如图,是药品研究所所测得的某种新药在成人用药后,血液中的药物浓度(微克毫升)用药后的时间(小时)变化的图象(图象由线段与部分双曲线组成).并测得当时,该药物才具有疗效.若成人用药4小时,药物开始产生疗效,且用药后9小时,药物仍具有疗效,则成人用药后,血液中药物需要多长时间达到最大浓度?
已知正比例函数与反比例函数 的图象在第一象限内交于点
(1)求,的值;
(2)在直角坐标系中画出这两个函数的大致图象,并根据图象直接回答时的取值范围.
为了探索函数 的图象与性质,我们参照学习函数的过程与方法.
列表:
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2 |
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描点:在平面直角坐标系中,以自变量 的取值为横坐标,以相应的函数值 为纵坐标,描出相应的点,如图1所示:
(1)如图1,观察所描出点的分布,用一条光滑曲线将点顺次连接起来,作出函数图象;
(2)已知点 , , , 在函数图象上,结合表格和函数图象,回答下列问题:
若 ,则 ;若 ,则 ;
若 ,则 (填" "," "或" " .
(3)某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池,其底面积为1平方米,深为1米.已知底面造价为1千元 平方米,侧面造价为0.5千元 平方米.设水池底面一边的长为 米,水池总造价为 千元.
①请写出 与 的函数关系式;
②若该农户预算不超过3.5千元,则水池底面一边的长 应控制在什么范围内?
如图,在平面直角坐标系中,四边形的顶点坐标分别为,,,.动点从点出发,以每秒3个单位长度的速度沿边向终点运动;动点从点同时出发,以每秒2个单位长度的速度沿边向终点运动.设运动的时间为秒,.
(1)直接写出关于的函数解析式及的取值范围: ;
(2)当时,求的值;
(3)连接交于点,若双曲线经过点,问的值是否变化?若不变化,请求出的值;若变化,请说明理由.
汛期到来,山洪暴发.下表记录了某水库内水位的变化情况,其中表示时间(单位:,表示水位高度(单位:,当时,达到警戒水位,开始开闸放水.
0 |
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4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
14 |
16 |
18 |
20 |
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14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
14.4 |
12 |
10.3 |
9 |
8 |
7.2 |
(1)在给出的平面直角坐标系中,根据表格中的数据描出相应的点.
(2)请分别求出开闸放水前和放水后最符合表中数据的函数解析式.
(3)据估计,开闸放水后,水位的这种变化规律还会持续一段时间,预测何时水位达到.
方方驾驶小汽车匀速地从地行驶到地,行驶里程为480千米,设小汽车的行驶时间为(单位:小时),行驶速度为(单位:千米小时),且全程速度限定为不超过120千米小时.
(1)求关于的函数表达式;
(2)方方上午8点驾驶小汽车从地出发.
①方方需在当天12点48分至14点(含12点48分和14点)间到达地,求小汽车行驶速度的范围.
②方方能否在当天11点30分前到达地?说明理由.
模具厂计划生产面积为4,周长为的矩形模具.对于的取值范围,小亮已经能用“代数”的方法解决,现在他又尝试从“图形”的角度进行探究,过程如下:
(1)建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为,,由矩形的面积为4,得,即;由周长为,得,即.满足要求的应是两个函数图象在第 一 象限内交点的坐标.
(2)画出函数图象
函数的图象如图所示,而函数的图象可由直线平移得到.请在同一直角坐标系中直接画出直线.
(3)平移直线,观察函数图象
①当直线平移到与函数的图象有唯一交点时,周长的值为 ;
②在直线平移过程中,交点个数还有哪些情况?请写出交点个数及对应的周长的取值范围.
(4)得出结论
若能生产出面积为4的矩形模具,则周长的取值范围为 .
某校拟建一个面积为 的矩形健身区,张老师请同学们小组合作设计出使周长最小的建造方案,下面是其中一个小组的探究过程,请补充完整
(1)列式
设矩形的一边长是 ,则另一边长是 ,若周长为 ,则 与 之间的函数关系式为
(2)画图
①列表
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6 |
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20 |
25 |
30 |
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58 |
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40 |
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58 |
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表中
②描点:如图所示;
③连线:请在图中画出该函数的图象.
(3)发现
图象最低点的坐标为 ,即当 时,周长 有最小值 ;
(4)验证
在张老师的指导下,同学们将 与 之间的函数关系式进行配方,得出 .
.
当 时, 有最小值;
此方程可化为 ;
当 时,周长 有最小值 .
长为的春游队伍,以的速度向东行进,如图1和图2,当队伍排尾行进到位置时,在排尾处的甲有一物品要送到排头,送到后立即返回排尾,甲的往返速度均为,当甲返回排尾后,他及队伍均停止行进.设排尾从位置开始行进的时间为,排头与的距离为.
(1)当时,解答:
①求与的函数关系式(不写的取值范围);
②当甲赶到排头位置时,求的值;在甲从排头返回到排尾过程中,设甲与位置的距离为,求与的函数关系式(不写的取值范围)
(2)设甲这次往返队伍的总时间为,求与的函数关系式(不写的取值范围),并写出队伍在此过程中行进的路程.
如图是轮滑场地的截面示意图,平台距轴(水平)18米,与轴交于点,与滑道交于点,且米.运动员(看成点)在方向获得速度米秒后,从处向右下飞向滑道,点是下落路线的某位置.忽略空气阻力,实验表明:,的竖直距离(米与飞出时间(秒的平方成正比,且时,,的水平距离是米.
(1)求,并用表示;
(2)设.用表示点的横坐标和纵坐标,并求与的关系式(不写的取值范围),及时运动员与正下方滑道的竖直距离;
(3)若运动员甲、乙同时从处飞出,速度分别是5米秒、米秒.当甲距轴1.8米,且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时,直接写出的值及的范围.
据专家分析,一般成人喝半斤低度白酒后,1.5小时内其血液中酒精含量y(毫克/百毫升)与时间x(时)的关系可近似地用二次函数y=﹣200x2+400x刻画;1.5小时后(包括1.5小时)y与x可近似地用反比例函数y=(k>0)刻画(如图所示).
(1)根据上述数学模型计算:
①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值?最大值为多少?
②当x=5时,y=45,求k的值.
(2)按国家规定,车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”,不能驾车上路.参照上述数学模型,假设某驾驶员晚上20:00在家喝完半斤低度白酒,第二天早上7:00能否驾车去上班?请说明理由.
试题篮
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