初中数学二次函数的最值试题

当 　　时，二次函数 有最小值 　　．

（年新疆乌鲁木齐市）抛物线与x轴交于A，B两点（OA＜OB），与y轴交于点C．

（1）求点A，B，C的坐标；
（2）点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为t秒（0＜t＜2）．
①过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D（如图所示），当t为何值时，的值最小，求出这个最小值并写出此时点E，P的坐标；
②在满足①的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F，使△EFP为直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

将一个直角三角形纸片 $\mathit{OAB}$放置在平面直角坐标系中，点 $O(0,0)$，点 $A(2,0)$，点 $B$在第一象限， $\angle \mathit{OAB}=90°$， $\angle B=30°$，点 $P$在边 $\mathit{OB}$上（点 $P$不与点 $O$， $B$重合）．

（Ⅰ）如图①，当 $\mathit{OP}=1$时，求点 $P$的坐标；

（Ⅱ）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点 $P$，并与 $x$轴的正半轴相交于点 $Q$，且 $\mathit{OQ}=\mathit{OP}$，点 $O$的对应点为 $O^{\text{'}}$，设 $\mathit{OP}=t$．

①如图②，若折叠后△ $O^{\text{'}}\mathit{PQ}$与 $\mathit{\Delta OAB}$重叠部分为四边形， $O^{\text{'}}P$， $O^{\text{'}}Q$分别与边 $\mathit{AB}$相交于点 $C$， $D$，试用含有 $t$的式子表示 $O^{\text{'}}D$的长，并直接写出 $t$的取值范围；

②若折叠后△ $O^{\text{'}}\mathit{PQ}$与 $\mathit{\Delta OAB}$重叠部分的面积为 $S$，当 $1⩽t⩽3$时，求 $S$的取值范围（直接写出结果即可）．

已知二次函数 $y=a{x}^2+2\mathit{ax}+3a^2+3$（其中 $x$是自变量），当 $x⩾2$时， $y$随 $x$的增大而增大，且 $-2⩽x⩽1$时， $y$的最大值为9，则 $a$的值为 $($　　 $)$

A．1或 $-2$B． $-\sqrt{2}$或 $\sqrt{2}$C． $\sqrt{2}$D．1

已知二次函数 $y=x^2-4x+2$ ，关于该函数在 $-1⩽x⩽3$ 的取值范围内，下列说法正确的是 $($ 　　 $)$

A．	有最大值 $-1$ ，有最小值 $-2$	B．	有最大值0，有最小值 $-1$
C．	有最大值7，有最小值 $-1$	D．	有最大值7，有最小值 $-2$

关于二次函数 $y=2{(x-4)}^2+6$ 的最大值或最小值，下列说法正确的是 $($ 　　 $)$

A．

有最大值4

B．

有最小值4

C．

有最大值6

D．

有最小值6

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}=4$，点 $E$在边 $\mathit{AD}$上，连接 $\mathit{CE}$，以 $\mathit{CE}$为边向右上方作正方形 $\mathit{CEFG}$，作 $\mathit{FH}\perp \mathit{AD}$，垂足为 $H$，连接 $\mathit{AF}$．

（1）求证： $\mathit{FH}=\mathit{ED}$；

（2）当 $\mathit{AE}$为何值时， $\mathit{\Delta AEF}$的面积最大？

设 $a$、 $b$是任意两个实数，用 $\mathit{max}\{a$， $b\}$表示 $a$、 $b$两数中较大者，例如： $\mathit{max}\{-1$， $-1\}=-1$， $\mathit{max}\{1$， $2\}=2$， $\mathit{max}\{4$， $3\}=4$，参照上面的材料，解答下列问题：

（1） $\mathit{max}\{5$， $2\}=$　　， $\mathit{max}\{0$， $3\}=$　　；

（2）若 $\mathit{max}\{3x+1$， $-x+1\}=-x+1$，求 $x$的取值范围；

（3）求函数 $y=x^2-2x-4$与 $y=-x+2$的图象的交点坐标，函数 $y=x^2-2x-4$的图象如图所示，请你在图中作出函数 $y=-x+2$的图象，并根据图象直接写出 $\mathit{max}\{-x+2$， $x^2-2x-4\}$的最小值．

已知抛物线 G： y＝ mx ²﹣2 mx﹣3有最低点．

（1）求二次函数 y＝ mx ²﹣2 mx﹣3的最小值（用含 m的式子表示）；

（2）将抛物线 G向右平移 m个单位得到抛物线 G ₁．经过探究发现，随着 m的变化，抛物线 G ₁顶点的纵坐标 y与横坐标 x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量 x的取值范围；

（3）记（2）所求的函数为 H，抛物线 G与函数 H的图象交于点 P，结合图象，求点 P的纵坐标的取值范围．

已知直线 $l_1:y=-2x+10$交 $y$轴于点 $A$，交 $x$轴于点 $B$，二次函数的图象过 $A$， $B$两点，交 $x$轴于另一点 $C$， $\mathit{BC}=4$，且对于该二次函数图象上的任意两点 $P_1(x_1$， $y_1)$， $P_2(x_2$， $y_2)$，当 $x_1>x_2⩾5$时，总有 $y_1>y_2$．

（1）求二次函数的表达式；

（2）若直线 $l_2:y=\mathit{mx}+n(n\ne 10)$，求证：当 $m=-2$时， $l_2//l_1$；

（3） $E$为线段 $\mathit{BC}$上不与端点重合的点，直线 $l_3:y=-2x+q$过点 $C$且交直线 $\mathit{AE}$于点 $F$，求 $\mathit{\Delta ABE}$与 $\mathit{\Delta CEF}$面积之和的最小值．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$是 $\odot O$的内接三角形，点 $D$在 $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$上，点 $E$在弦 $\mathit{AB}$上 $(E$不与 $A$重合），且四边形 $\mathit{BDCE}$为菱形．

（1）求证： $\mathit{AC}=\mathit{CE}$；

（2）求证： $B{C}^2-A{C}^2=\mathit{AB}·\mathit{AC}$；

（3）已知 $\odot O$的半径为3．

①若 $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{AC}}=\frac{5}{3}$，求 $\mathit{BC}$的长；

②当 $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{AC}}$为何值时， $\mathit{AB}·\mathit{AC}$的值最大？

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$中，点 $G$在边 $\mathit{BC}$上（不与点 $B$， $C$重合），连接 $\mathit{AG}$，作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AG}$于点 $E$， $\mathit{BF}\perp \mathit{AG}$于点 $F$，设 $\frac{\mathit{BG}}{\mathit{BC}}=k$．

（1）求证： $\mathit{AE}=\mathit{BF}$．

（2）连接 $\mathit{BE}$， $\mathit{DF}$，设 $\angle \mathit{EDF}=\alpha$， $\angle \mathit{EBF}=\beta$．求证： $\tan \alpha =k\tan \beta$．

（3）设线段 $\mathit{AG}$与对角线 $\mathit{BD}$交于点 $H$， $\mathit{\Delta AHD}$和四边形 $\mathit{CDHG}$的面积分别为 $S_1$和 $S_2$，求 $\frac{S_2}{S_1}$的最大值．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，函数 $F_1$ 和 $F_2$ 的图象关于 $y$ 轴对称，它们与直线 $x=t(t>0)$ 分别相交于点 $P$ ， $Q$ ．

（1）如图，函数 $F_1$ 为 $y=x+1$ ，当 $t=2$ 时， $\mathit{PQ}$ 的长为 　 　；

（2）函数 $F_1$ 为 $y=\frac{3}{x}$ ，当 $\mathit{PQ}=6$ 时， $t$ 的值为 　　；

（3）函数 $F_1$ 为 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$ ，

①当 $t=\frac{\sqrt{b}}{b}$ 时，求 $\mathit{\Delta OPQ}$ 的面积；

②若 $c>0$ ，函数 $F_1$ 和 $F_2$ 的图象与 $x$ 轴正半轴分别交于点 $A(5,0)$ ， $B(1,0)$ ，当 $c⩽x⩽c+1$ 时，设函数 $F_1$ 的最大值和函数 $F_2$ 的最小值的差为 $h$ ，求 $h$ 关于 $c$ 的函数解析式，并直接写出自变量 $c$ 的取值范围．

某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为 $6\mathit{cm}$ ，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．

如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成 $45°$ 的角，将该纸条从右往左平移．

（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．

（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形 $\mathit{ABCD}$ 时，求证：四边形 $\mathit{ABCD}$ 是菱形．

（3）设平移的距离为 $\mathit{xcm}(0<x⩽6+6\sqrt{2})$ ，两张纸条重叠部分的面积为 $\mathit{sc}{m}^2$ ．求 $s$ 与 $x$ 的函数关系式，并求 $s$ 的最大值．

已知抛物线顶点，经过点，且与直线交于，两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若在抛物线上恰好存在三点，，，满足，求的值；

（3）在，之间的抛物线弧上是否存在点满足？若存在，求点的横坐标；若不存在，请说明理由．

（坐标平面内两点，，，之间的距离