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初中数学

如图,抛物线 y = a x 2 + bx + c x 轴于 A ( - 1 , 0 ) B ( 3 , 0 ) 两点,交 y 轴于点 C ( 0 , - 3 ) ,点 Q 为线段 BC 上的动点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)求 | QO | + | QA | 的最小值;

(3)过点 Q PQ / / AC 交抛物线的第四象限部分于点 P ,连接 PA PB ,记 ΔPAQ ΔPBQ 面积分别为 S 1 S 2 ,设 S = S 1 + S 2 ,求点 P 坐标,使得 S 最大,并求此最大值.

来源:2021年湖北省荆门市中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

抛物线 y = a x 2 - 2 bx + b ( a 0 ) y 轴相交于点 C ( 0 , - 3 ) ,且抛物线的对称轴为 x = 3 D 为对称轴与 x 轴的交点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)在 x 轴上方且平行于 x 轴的直线与抛物线从左到右依次交于 E F 两点,若 ΔDEF 是等腰直角三角形,求 ΔDEF 的面积;

(3)若 P ( 3 , t ) 是对称轴上一定点, Q 是抛物线上的动点,求 PQ 的最小值(用含 t 的代数式表示).

来源:2021年湖北省黄石市中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

已知抛物线 y = a x 2 + bx - 3 x 轴相交于 A ( - 1 , 0 ) B ( 3 , 0 ) 两点,与 y 轴交于点 C ,点 N ( n , 0 ) x 轴上的动点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图1,若 n < 3 ,过点 N x 轴的垂线交抛物线于点 P ,交直线 BC 于点 G .过点 P PD BC 于点 D ,当 n 为何值时, ΔPDG ΔBNG

(3)如图2,将直线 BC 绕点 B 顺时针旋转,它恰好经过线段 OC 的中点,然后将它向上平移 3 2 个单位长度,得到直线 O B 1

tan BO B 1 =   

②当点 N 关于直线 O B 1 的对称点 N 1 落在抛物线上时,求点 N 的坐标.

来源:2021年湖北省黄冈市中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,在平面直角坐标系中,四边形 ABCD 为正方形,点 A B x 轴上,抛物线 y = x 2 + bx + c 经过点 B D ( - 4 , 5 ) 两点,且与直线 DC 交于另一点 E

(1)求抛物线的解析式;

(2) F 为抛物线对称轴上一点, Q 为平面直角坐标系中的一点,是否存在以点 Q F E B 为顶点的四边形是以 BE 为边的菱形.若存在,请求出点 F 的坐标;若不存在,请说明理由;

(3) P y 轴上一点,过点 P 作抛物线对称轴的垂线,垂足为 M ,连接 ME BP ,探究 EM + MP + PB 是否存在最小值.若存在,请求出这个最小值及点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.

来源:2021年湖北省恩施州中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,已知抛物线 y = a x 2 + bx + 5 ( a 0 ) x 轴交于点 A ( - 5 , 0 ) ,点 B ( 1 , 0 ) (点 A 在点 B 的左边),与 y 轴交于点 C ,点 D 为抛物线的顶点,连接 BD .直线 y = - 1 2 x - 5 2 经过点 A ,且与 y 轴交于点 E

(1)求抛物线的解析式;

(2)点 N 是抛物线上的一点,当 ΔBDN 是以 DN 为腰的等腰三角形时,求点 N 的坐标;

(3)点 F 为线段 AE 上的一点,点 G 为线段 OA 上的一点,连接 FG ,并延长 FG 与线段 BD 交于点 H (点 H 在第一象限),当 EFG = 3 BAE HG = 2 FG 时,求出点 F 的坐标.

来源:2021年黑龙江省绥化市中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,抛物线 y = a x 2 + bx + c x 轴交于原点 O 和点 A ,且其顶点 B 关于 x 轴的对称点坐标为 ( 2 , 1 )

(1)求抛物线的函数表达式;

(2)抛物线的对称轴上存在定点 F ,使得抛物线 y = a x 2 + bx + c 上的任意一点 G 到定点 F 的距离与点 G 到直线 y = - 2 的距离总相等.

①证明上述结论并求出点 F 的坐标;

②过点 F 的直线 l 与抛物线 y = a x 2 + bx + c 交于 M N 两点.

证明:当直线 l 绕点 F 旋转时, 1 MF + 1 NF 是定值,并求出该定值;

(3)点 C ( 3 , m ) 是该抛物线上的一点,在 x 轴, y 轴上分别找点 P Q ,使四边形 PQBC 周长最小,直接写出 P Q 的坐标.

来源:2021年黑龙江省大庆市中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

已知抛物线 y = a x 2 + 9 4 x + c x 轴交于 A B 两点,与 y 轴交于 C 点,且点 A 的坐标为 ( - 1 , 0 ) 、点 C 的坐标为 ( 0 , 3 )

(1)求该抛物线的函数表达式;

(2)如图1,若该抛物线的顶点为 P ,求 ΔPBC 的面积;

(3)如图2,有两动点 D E ΔCOB 的边上运动,速度均为每秒1个单位长度,它们分别从点 C 和点 B 同时出发,点 D 沿折线 COB C O B 方向向终点 B 运动,点 E 沿线段 BC B C 方向向终点 C 运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设运动时间为 t 秒,请解答下列问题:

①当 t 为何值时, ΔBDE 的面积等于 33 10

②在点 D E 运动过程中,该抛物线上存在点 F ,使得依次连接 AD DF FE EA 得到的四边形 ADFE 是平行四边形,请直接写出所有符合条件的点 F 的坐标.

来源:2021年海南省中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,抛物线 y a x 2 2 x + c a 0 x轴交于 A B 3 0 两点,与y轴交于点 C 0 ,﹣ 3 ,抛物线的顶点为D

(1)求抛物线的解析式;

(2)点P在抛物线的对称轴上,点Qx轴上,若以点PQBC为顶点,BC为边的四边形为平行四边形,请直接写出点PQ的坐标;

(3)已知点Mx轴上的动点,过点Mx的垂线交抛物线于点G,是否存在这样的点M,使得以点AMG为顶点的三角形与 BCD 相似,若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

来源:2021年贵州省黔东南州中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线: y = a x 2 + bx + c x 轴于 A ( - 1 , 0 ) B ( 3 , 0 ) 两点,与 y 轴交于点 C ( 0 , - 3 2 )

(1)求抛物线的函数解析式;

(2)如图1,点 D 为第四象限抛物线上一点,连接 OD ,过点 B BE OD ,垂足为 E ,若 BE = 2 OE ,求点 D

坐标;

(3)如图2,点 M 为第四象限抛物线上一动点,连接 AM ,交 BC 于点 N ,连接 BM ,记 ΔBMN 的面积为 S 1 ΔABN 的面积为 S 2 ,求 S 1 S 2 的最大值.

来源:2021年广西柳州市中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,抛物线 y = x 2 + bx + c x 轴交于 A B 两点,且 A ( - 1 , 0 ) ,对称轴为直线 x = 2

(1)求该抛物线的函数达式;

(2)直线 l 过点 A 且在第一象限与抛物线交于点 C .当 CAB = 45 ° 时,求点 C 的坐标;

(3)点 D 在抛物线上与点 C 关于对称轴对称,点 P 是抛物线上一动点,令 P ( x P y P ) ,当 1 x P a 1 a 5 时,求 ΔPCD 面积的最大值(可含 a 表示).

来源:2021年广西贺州市中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

已知二次函数 y = a x 2 + bx + c 的图象过点 ( - 1 , 0 ) ,且对任意实数 x ,都有 4 x - 12 a x 2 + bx + c 2 x 2 - 8 x + 6

(1)求该二次函数的解析式;

(2)若(1)中二次函数图象与 x 轴的正半轴交点为 A ,与 y 轴交点为 C ;点 M 是(1)中二次函数图象上的动点.问在 x 轴上是否存在点 N ,使得以 A C M N 为顶点的四边形是平行四边形.若存在,求出所有满足条件的点 N 的坐标;若不存在,请说明理由.

来源:2021年广东省中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y = 1 2 x 2 + bx + c 与坐标轴交于 A ( 0 , - 2 ) B ( 4 , 0 ) 两点,直线 BC : y = - 2 x + 8 y 轴于点 C .点 D 为直线 AB 下方抛物线上一动点,过点 D x 轴的垂线,垂足为 G DG 分别交直线 BC AB 于点 E F

(1)求抛物线 y = 1 2 x 2 + bx + c 的表达式;

(2)当 GF = 1 2 时,连接 BD ,求 ΔBDF 的面积;

(3)① H y 轴上一点,当四边形 BEHF 是矩形时,求点 H 的坐标;

②在①的条件下,第一象限有一动点 P ,满足 PH = PC + 2 ,求 ΔPHB 周长的最小值.

来源:2021年甘肃省武威市中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

已知抛物线 y = a x 2 + bx + c x 轴只有一个公共点.

(1)若抛物线过点 P ( 0 , 1 ) ,求 a + b 的最小值;

(2)已知点 P 1 ( - 2 , 1 ) P 2 ( 2 , - 1 ) P 3 ( 2 , 1 ) 中恰有两点在抛物线上.

①求抛物线的解析式;

②设直线 l : y = kx + 1 与抛物线交于 M N 两点,点 A 在直线 y = - 1 上,且 MAN = 90 ° ,过点 A 且与 x 轴垂直的直线分别交抛物线和 l 于点 B C .求证: ΔMAB ΔMBC 的面积相等.

来源:2021年福建省中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

初中数学待定系数法求二次函数解析式试题