初中数学抛物线与x轴的交点计算题

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (m + 1) x + \frac{1}{2} (m^{2} + 1) = 0$ 有实数根．

（1）求 $m$ 的值；

（2）先作 $y = x^{2} - (m + 1) x + \frac{1}{2} (m^{2} + 1)$ 的图象关于 $x$ 轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；

（3）在（2）的条件下，当直线 $y = 2 x + n (n ⩾ m)$ 与变化后的图象有公共点时，求 $n^{2} - 4 n$ 的最大值和最小值．

来源：2017年湖北省仙桃市中考数学试卷

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (m + 1) x + \frac{1}{2} (m^{2} + 1) = 0$ 有实数根．

（1）求 $m$ 的值；

（2）先作 $y = x^{2} - (m + 1) x + \frac{1}{2} (m^{2} + 1)$ 的图象关于 $x$ 轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；

（3）在（2）的条件下，当直线 $y = 2 x + n (n ⩾ m)$ 与变化后的图象有公共点时，求 $n^{2} - 4 n$ 的最大值和最小值．

来源：2017年湖北省武汉市江汉油田中考数学试卷

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (k - 5) x + 1 - k = 0$ ，其中 $k$ 为常数．

（1）求证：无论 $k$ 为何值，方程总有两个不相等实数根；

（2）已知函数 $y = x^{2} + (k - 5) x + 1 - k$ 的图象不经过第三象限，求 $k$ 的取值范围；

（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求 $k$ 的最大整数值．

来源：2017年湖北省荆州市中考数学试卷

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，二次函数图象的顶点坐标为 $(4, - 3)$ ，该图象与 $x$ 轴相交于点 $A$ 、 $B$ ，与 $y$ 轴相交于点 $C$ ，其中点 $A$ 的横坐标为1．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）求 $\tan ∠ ABC$ ．

来源：2019年江苏省泰州市中考数学试卷

如图，抛物线 $y = a x^{2} + 2 ax + 1$ 与 $x$ 轴仅有一个公共点 $A$ ，经过点 $A$ 的直线交该抛物线于点 $B$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ，且点 $C$ 是线段 $AB$ 的中点．

（1）求这条抛物线对应的函数解析式；

（2）求直线 $AB$ 对应的函数解析式．

来源：2016年山东省淄博市中考数学试卷

已知函数 $y = - x^{2} + (m - 1) x + m (m$ 为常数）．

（1）该函数的图象与 $x$ 轴公共点的个数是　　．

$A . 0$ $B . 1$ $C . 2$ $D . 1$ 或2

（2）求证：不论 $m$ 为何值，该函数的图象的顶点都在函数 $y = {(x + 1)}^{2}$ 的图象上．

（3）当 $- 2 ⩽ m ⩽ 3$ 时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．

来源：2017年江苏省南京市中考数学试卷