初中数学二次函数的应用试题

如图，在平面直角坐标系中，四边形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AD}$在 $x$轴上，点 $C$在 $y$轴的负半轴上，直线 $\mathit{BC}//\mathit{AD}$，且 $\mathit{BC}=3$， $\mathit{OD}=2$，将经过 $A$、 $B$两点的直线 $l:y=-2x-10$向右平移，平移后的直线与 $x$轴交于点 $E$，与直线 $\mathit{BC}$交于点 $F$，设 $\mathit{AE}$的长为 $t(t⩾0)$．

（1）四边形 $\mathit{ABCD}$的面积为　    　；

（2）设四边形 $\mathit{ABCD}$被直线 $l$扫过的面积（阴影部分）为 $S$，请直接写出 $S$关于 $t$的函数解析式；

（3）当 $t=2$时，直线 $\mathit{EF}$上有一动点 $P$，作 $\mathit{PM}\perp$直线 $\mathit{BC}$于点 $M$，交 $x$轴于点 $N$，将 $\mathit{\Delta PMF}$沿直线 $\mathit{EF}$折叠得到 $\mathit{\Delta PTF}$，探究：是否存在点 $P$，使点 $T$恰好落在坐标轴上？若存在，请求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

飞机着陆后滑行的距离 $s$（单位：米）关于滑行的时间 $t$（单位：秒）的函数解析式是 $s=60t-\frac{3}{2}{t}^2$，则飞机着陆后滑行的最长时间为　    　秒．

某水果店在两周内，将标价为10元 $/$斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元 $/$斤，并且两次降价的百分率相同．

（1）求该种水果每次降价的百分率；

（2）从第一次降价的第1天算起，第 $x$天（ $x$为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元 $/$斤，设销售该水果第 $x$（天）的利润为 $y$（元），求 $y$与 $x(1⩽x<15)$之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？

时间 $x$（天）	$1⩽x<9$	$9⩽x<15$	$x⩾15$
售价（元 $/$斤）	第1次降价后的价格	第2次降价后的价格
销量（斤）	$80-3x$	$120-x$
储存和损耗费用（元）	$40+3x$	$3x^2-64x+400$

（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？

新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买 $A$、 $B$两种花苗．据了解，购买 $A$种花苗3盆， $B$种花苗5盆，则需210元；购买 $A$种花苗4盆， $B$种花苗10盆，则需380元．

（1）求 $A$、 $B$两种花苗的单价分别是多少元？

（2）经九年级一班班委会商定，决定购买 $A$、 $B$两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆 $B$种花苗， $B$种花苗每盆就降价几元，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？

某超市销售一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱，设每箱牛奶降价 $x$元 $(x$为正整数），每月的销量为 $y$箱．

（1）写出 $y$与 $x$之间的函数关系式和自变量 $x$的取值范围；

（2）超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？

荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价 $p$（元 $/$千克）与时间第 $t$（天 $)$之间的函数关系为：

$p=\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{4}t+16\left(1⩽t⩽40,t\mathit{为整数}\right)\\ -\frac{1}{2}t+46\left(41⩽t⩽80,t\mathit{为整数}\right)\end{array}\right.$，日销售量 $y$（千克）与时间第 $t$（天 $)$之间的函数关系如图所示：

（1）求日销售量 $y$与时间 $t$的函数关系式？

（2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？

（3）该养殖户有多少天日销售利润不低于2400元？

（4）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠 $m(m<7)$元给村里的特困户．在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 $t$的增大而增大，求 $m$的取值范围．

我市雷雷服饰有限公司生产了一款夏季服装，通过实体商店和网上商店两种途径进行销售，销售一段时间后，该公司对这种商品的销售情况，进行了为期30天的跟踪调查，其中实体商店的日销售量 $y_1$（百件）与时间 $t(t$为整数，单位：天）的部分对应值如表所示，网上商店的日销售量 $y_2$（百件）与时间 $t(t$为整数，单位：天）的部分对应值如图所示．

时间 $t$（天 $)$	0	5	10	15	20	25	30
日销售量 $y_1$（百件）	0	25	40	45	40	25	0

（1）请你在一次函数、二次函数和反比例函数中，选择合适的函数能反映 $y_1$与 $t$的变化规律，并求出 $y_1$与 $t$的函数关系式及自变量 $t$的取值范围；

（2）求 $y_2$与 $t$的函数关系式，并写出自变量 $t$的取值范围；

（3）在跟踪调查的30天中，设实体商店和网上商店的日销售总量为 $y$（百件），求 $y$与 $t$的函数关系式；当 $t$为何值时，日销售总量 $y$达到最大，并求出此时的最大值．

小明同学在一次社会实践活动中，通过对某种蔬菜在1月份至7月份的市场行情进行统计分析后得出如下规律：

①该蔬菜的销售单价 $P$（单位：元 $/$千克）与时间 $x$（单位：月份）满足关系： $P=9-x$；

②该蔬菜的平均成本 $y$（单位：元 $/$千克）与时间 $x$（单位：月份）满足二次函数关系 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+10$．

已知4月份的平均成本为2元 $/$千克，6月份的平均成本为1元 $/$千克．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）请运用小明统计的结论，求出该蔬菜在第几月份的平均利润 $L$（单位：元 $/$千克）最大？最大平均利润是多少？（注：平均利润 $=$销售单价 $-$平均成本）

已知：如图所示，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，四边形 $\mathit{OABC}$是矩形， $\mathit{OA}=4$， $\mathit{OC}=3$，动点 $P$从点 $C$出发，沿射线 $\mathit{CB}$方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点 $Q$从点 $O$出发，沿 $x$轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动．设点 $P$、点 $Q$的运动时间为 $t\left(s\right)$．

（1）当 $t=1s$时，求经过点 $O$， $P$， $A$三点的抛物线的解析式；

（2）当 $t=2s$时，求 $\tan \angle \mathit{QPA}$的值；

（3）当线段 $\mathit{PQ}$与线段 $\mathit{AB}$相交于点 $M$，且 $\mathit{BM}=2\mathit{AM}$时，求 $t\left(s\right)$的值；

（4）连接 $\mathit{CQ}$，当点 $P$， $Q$在运动过程中，记 $\mathit{\Delta CQP}$与矩形 $\mathit{OABC}$重叠部分的面积为 $S$，求 $S$与 $t$的函数关系式．

某电子科技有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为4元 $/$件，在销售过程中发现：每年的年销售量 $y$（万件）与销售价格 $x$（元 $/$件）的关系如图所示，其中 $\mathit{AB}$为反比例函数图象的一部分， $\mathit{BC}$为一次函数图象的一部分．设公司销售这种电子产品的年利润为 $s$（万元）．（注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本． $)$

（1）请求出 $y$（万件）与 $x$（元 $/$件）之间的函数关系式；

（2）求出第一年这种电子产品的年利润 $s$（万元）与 $x$（元 $/$件）之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最大值．

（3）假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润 $s$（万元）取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价格 $x$（元 $)$定在8元以上 $(x>8)$，当第二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润 $s$（万元）与销售价格 $x$（元 $/$件）的函数示意图，求销售价格 $x$（元 $/$件）的取值范围．

三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为 $($　　 $)$

A． $4\sqrt{3}$米B． $5\sqrt{2}$米C． $2\sqrt{13}$米D．7米

鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元 $/$个，根据市场调研发现售价是80元 $/$个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低 $x$元 $(x$为偶数），每周销售量为 $y$个．

（1）直接写出销售量 $y$个与降价 $x$元之间的函数关系式；

（2）设商户每周获得的利润为 $W$元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？

（3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？

已知抛物线 $y=a{x}^2+4\mathit{ax}+4a+1(a\ne 0)$过点 $A(m,3)$， $B(n,3)$两点，若线段 $\mathit{AB}$的长不大于4，则代数式 $a^2+a+1$的最小值是　    　．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是矩形， $\mathit{AB}=20$， $\mathit{BC}=10$，以 $\mathit{CD}$为一边向矩形外部作等腰直角 $\mathit{\Delta GDC}$， $\angle G=90°$．点 $M$在线段 $\mathit{AB}$上，且 $\mathit{AM}=a$，点 $P$沿折线 $\mathit{AD}-\mathit{DG}$运动，点 $Q$沿折线 $\mathit{BC}-\mathit{CG}$运动（与点 $G$不重合），在运动过程中始终保持线段 $\mathit{PQ}//\mathit{AB}$．设 $\mathit{PQ}$与 $\mathit{AB}$之间的距离为 $x$．

（1）若 $a=12$．

①如图1，当点 $P$在线段 $\mathit{AD}$上时，若四边形 $\mathit{AMQP}$的面积为48，则 $x$的值为　    　；

②在运动过程中，求四边形 $\mathit{AMQP}$的最大面积；

（2）如图2，若点 $P$在线段 $\mathit{DG}$上时，要使四边形 $\mathit{AMQP}$的面积始终不小于50，求 $a$的取值范围．

如图①，将南北向的中山路与东西向的北京路看成两条直线，十字路口记作点 $A$．甲从中山路上点 $B$出发，骑车向北匀速直行；与此同时，乙从点 $A$出发，沿北京路步行向东匀速直行．设出发 $\mathit{xmin}$时，甲、乙两人与点 $A$的距离分别为 $y_{1}m$、 $y_{2}m$．已知 $y_1$、 $y_2$与 $x$之间的函数关系如图②所示．

（1）求甲、乙两人的速度；

（2）当 $x$取何值时，甲、乙两人之间的距离最短？