初中数学等腰三角形的性质试题

等腰三角形 $\mathit{ABC}$中，顶角 $A$为 $40°$，点 $P$在以 $A$为圆心， $\mathit{BC}$长为半径的圆上，且 $\mathit{BP}=\mathit{BA}$，则 $\angle \mathit{PBC}$的度数为　　．

如图， $\mathit{AD}$， $\mathit{CE}$分别是 $\mathit{\Delta ABC}$的中线和角平分线．若 $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\angle \mathit{CAD}=20°$，则 $\angle \mathit{ACE}$的度数是 $($　　 $)$

A． $20°$B． $35°$C． $40°$D． $70°$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，以点 $B$为圆心， $\mathit{BC}$长为半径画弧，交线段 $\mathit{AB}$于点 $D$；以点 $A$为圆心， $\mathit{AD}$长为半径画弧，交线段 $\mathit{AC}$于点 $E$，连接 $\mathit{CD}$．

（1）若 $\angle A=28°$，求 $\angle \mathit{ACD}$的度数．

（2）设 $\mathit{BC}=a$， $\mathit{AC}=b$．

①线段 $\mathit{AD}$的长是方程 $x^2+2\mathit{ax}-b^2=0$的一个根吗？说明理由．

②若 $\mathit{AD}=\mathit{EC}$，求 $\frac{a}{b}$的值．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{AD}$为 $\mathit{BC}$边上的中线， $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{\Delta BDE}\backsim \mathit{\Delta CAD}$．

（2）若 $\mathit{AB}=13$， $\mathit{BC}=10$，求线段 $\mathit{DE}$的长．

如图，已知等腰三角形 $\mathit{ABC}$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$．若以点 $B$为圆心， $\mathit{BC}$长为半径画弧，交腰 $\mathit{AC}$于点 $E$，则下列结论一定正确的是 $($　　 $)$

A． $\mathit{AE}=\mathit{EC}$B． $\mathit{AE}=\mathit{BE}$C． $\angle \mathit{EBC}=\angle \mathit{BAC}$D． $\angle \mathit{EBC}=\angle \mathit{ABE}$

等腰三角形的一个内角为 $100°$，则顶角的度数是　　．

已知 $\mathit{\Delta ABC}$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $D$为直线 $\mathit{BC}$上一点， $E$为直线 $\mathit{AC}$上一点， $\mathit{AD}=\mathit{AE}$，设 $\angle \mathit{BAD}=\alpha$， $\angle \mathit{CDE}=\beta$．

（1）如图，若点 $D$在线段 $\mathit{BC}$上，点 $E$在线段 $\mathit{AC}$上．

①如果 $\angle \mathit{ABC}=60°$， $\angle \mathit{ADE}=70°$，那么 $\alpha =$　　 $°$， $\beta =$　　 $°$．

②求 $\alpha$， $\beta$之间的关系式．

（2）是否存在不同于以上②中的 $\alpha$， $\beta$之间的关系式？若存在，求出这个关系式（求出一个即可）；若不存在，说明理由．

如图，一次函数 $y=k_{1}x+b(k_1\ne 0)$与反比例函数 $y=\frac{k_2}{x}(k_2\ne 0)$的图象交于点 $A(-1,2)$， $B(m,-1)$．

（1）求这两个函数的表达式；

（2）在 $x$轴上是否存在点 $P(n$， $0\left)\right(n>0)$，使 $\mathit{\Delta ABP}$为等腰三角形？若存在，求 $n$的值；若不存在，说明理由．

如图，已知在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$．以 $\mathit{AB}$为直径作半圆 $O$，交 $\mathit{BC}$于点 $D$．若 $\angle \mathit{BAC}=40°$，则 $\stackrel{̂}{\mathit{AD}}$的度数是　　度．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{BC}=12$， $E$为 $\mathit{AC}$边的中点，线段 $\mathit{BE}$的垂直平分线交边 $\mathit{BC}$于点 $D$．设 $\mathit{BD}=x$， $\tan \angle \mathit{ACB}=y$，则 $($　　 $)$

A． $x-y^2=3$B． $2x-y^2=9$C． $3x-y^2=15$D． $4x-y^2=21$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle C=90°$， $D$是 $\mathit{BC}$边上一点，以 $\mathit{DB}$为直径的 $\odot O$经过 $\mathit{AB}$的中点 $E$，交 $\mathit{AD}$的延长线于点 $F$，连接 $\mathit{EF}$．

（1）求证： $\angle 1=\angle F$．

（2）若 $\sin B=\frac{\sqrt{5}}{5}$， $\mathit{EF}=2\sqrt{5}$，求 $\mathit{CD}$的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}=25$， $\mathit{AB}=30$， $D$是 $\mathit{AB}$上的一点（不与 $A$、 $B$重合）， $\mathit{DE}\perp \mathit{BC}$，垂足是点 $E$，设 $\mathit{BD}=x$，四边形 $\mathit{ACED}$的周长为 $y$，则下列图象能大致反映 $y$与 $x$之间的函数关系的是 $($　　 $)$

A．B．

C．D．

我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”

（1）概念理解：

请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；

（2）问题探究：

如图1，在等邻角四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{DAB}=\angle \mathit{ABC}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$的中垂线恰好交于 $\mathit{AB}$边上一点 $P$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$，试探究 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$的数量关系，并说明理由；

（3）应用拓展：

如图2，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$与 $\text{Rt}\Delta \text{ABD}$中， $\angle C=\angle D=90°$， $\mathit{BC}=\mathit{BD}=3$， $\mathit{AB}=5$，将 $\text{Rt}\Delta \text{ABD}$绕着点 $A$顺时针旋转角 $\alpha (0°<\angle \alpha <\angle \mathit{BAC})$得到 $\mathit{Rt}$△ $\mathit{AB}\text{'}D\text{'}$（如图 $3)$，当凸四边形 $\mathit{AD}\text{'}\mathit{BC}$为等邻角四边形时，求出它的面积．

在菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle A=30°$，在同一平面内，以对角线 $\mathit{BD}$为底边作顶角为 $120°$的等腰三角形 $\mathit{BDE}$，则 $\angle \mathit{EBC}$的度数为　　．

已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为 $m$和 $n(m<n)$，过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则 $($　　 $)$

A． $m^2+2\mathit{mn}+n^2=0$B． $m^2-2\mathit{mn}+n^2=0$C． $m^2+2\mathit{mn}-n^2=0$D． $m^2-2\mathit{mn}-n^2=0$