初中数学等腰三角形的判定与性质试题

在平面直角坐标系中，点 $A(-2,0)$，动点 $P$在直线 $y=-\sqrt{3}x$上，若 $\mathit{\Delta APO}$为等腰三角形，则点 $P$的坐标是　　．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\angle \mathit{BAC}=90°$，点 $D$， $E$分别在 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$上， $\angle \mathit{EAD}=\angle \mathit{EDA}$，点 $F$为 $\mathit{DE}$的延长线与 $\mathit{AC}$的延长线的交点．

（1）求证： $\mathit{DE}=\mathit{EF}$；

（2）判断 $\mathit{BD}$和 $\mathit{CF}$的数量关系，并说明理由；

（3）若 $\mathit{AB}=3$， $\mathit{AE}=\sqrt{5}$，求 $\mathit{BD}$的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle A=36°$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$平分 $\angle \mathit{ABC}$，则图中等腰三角形的个数是　　．

经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段 $\mathit{CD}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的“和谐分割线”， $\mathit{\Delta ACD}$为等腰三角形， $\mathit{\Delta CBD}$和 $\mathit{\Delta ABC}$相似， $\angle A=46°$，则 $\angle \mathit{ACB}$的度数为　　．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=10$， $\mathit{AD}=15$， $\angle \mathit{BAD}$的平分线交 $\mathit{BC}$于点 $E$，交 $\mathit{DC}$的延长线于点 $F$， $\mathit{BG}\perp \mathit{AE}$于点 $G$，若 $\mathit{BG}=8$，则 $\mathit{\Delta CEF}$的周长为 $($　　 $)$

A．16B．17C．24D．25

阅读下面的例题及点拨，并解决问题：

例题：如图①，在等边 $\mathit{\Delta ABC}$中， $M$是 $\mathit{BC}$边上一点（不含端点 $B$， $C)$， $N$是 $\mathit{\Delta ABC}$的外角 $\angle \mathit{ACH}$的平分线上一点，且 $\mathit{AM}=\mathit{MN}$．求证： $\angle \mathit{AMN}=60°$．

点拨：如图②，作 $\angle \mathit{CBE}=60°$， $\mathit{BE}$与 $\mathit{NC}$的延长线相交于点 $E$，得等边 $\mathit{\Delta BEC}$，连接 $\mathit{EM}$．易证： $\mathit{\Delta ABM}\cong \mathit{\Delta EBM}\left(\mathit{SAS}\right)$，可得 $\mathit{AM}=\mathit{EM}$， $\angle 1=\angle 2$；又 $\mathit{AM}=\mathit{MN}$，则 $\mathit{EM}=\mathit{MN}$，可得 $\angle 3=\angle 4$；由 $\angle 3+\angle 1=\angle 4+\angle 5=60°$，进一步可得 $\angle 1=\angle 2=\angle 5$，又因为 $\angle 2+\angle 6=120°$，所以 $\angle 5+\angle 6=120°$，即： $\angle \mathit{AMN}=60°$．

问题：如图③，在正方形 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$中， $M_1$是 $B_1{C}_1$边上一点（不含端点 $B_1$， $C_1)$， $N_1$是正方形 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$的外角 $\angle D_1{C}_1{H}_1$的平分线上一点，且 $A_1{M}_1=M_1{N}_1$．求证： $\angle A_1{M}_1{N}_1=90°$．

（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：

如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$中，点 $O$在线段 $\mathit{BC}$上， $\angle \mathit{BAO}=30°$， $\angle \mathit{OAC}=75°$， $\mathit{AO}=3\sqrt{3}$， $\mathit{BO}:\mathit{CO}=1:3$，求 $\mathit{AB}$的长．

经过社团成员讨论发现，过点 $B$作 $\mathit{BD}//\mathit{AC}$，交 $\mathit{AO}$的延长线于点 $D$，通过构造 $\mathit{\Delta ABD}$就可以解决问题（如图 $2)$．

请回答： $\angle \mathit{ADB}=$　　 $°$， $\mathit{AB}=$　　．

（2）请参考以上解决思路，解决问题：

如图3，在四边形 $\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$相交于点 $O$， $\mathit{AC}\perp \mathit{AD}$， $\mathit{AO}=3\sqrt{3}$， $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{ACB}=75°$， $\mathit{BO}:\mathit{OD}=1:3$，求 $\mathit{DC}$的长．

已知：如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是平行四边形，延长 $\mathit{BA}$至点 $E$，使 $\mathit{AE}+\mathit{CD}=\mathit{AD}$．连接 $\mathit{CE}$，求证： $\mathit{CE}$平分 $\angle \mathit{BCD}$．

如图， $D$ 是 $\mathit{\Delta ABC}$ 外接圆上的动点，且 $B$ ， $D$ 位于 $\mathit{AC}$ 的两侧， $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$ ，垂足为 $E$ ， $\mathit{DE}$ 的延长线交此圆于点 $F$ ． $\mathit{BG}\perp \mathit{AD}$ ，垂足为 $G$ ， $\mathit{BG}$ 交 $\mathit{DE}$ 于点 $H$ ， $\mathit{DC}$ ， $\mathit{FB}$ 的延长线交于点 $P$ ，且 $\mathit{PC}=\mathit{PB}$ ．

（1）求证： $\mathit{BG}//\mathit{CD}$ ；

（2）设 $\mathit{\Delta ABC}$ 外接圆的圆心为 $O$ ，若 $\mathit{AB}=\sqrt{3}\mathit{DH}$ ， $\angle \mathit{OHD}=80°$ ，求 $\angle \mathit{BDE}$ 的大小．

如图1，在等腰三角形 $\mathit{ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=4$， $\mathit{BC}=7$．如图2，在底边 $\mathit{BC}$上取一点 $D$，连接 $\mathit{AD}$，使得 $\angle \mathit{DAC}=\angle \mathit{ACD}$．如图3，将 $\mathit{\Delta ACD}$沿着 $\mathit{AD}$所在直线折叠，使得点 $C$落在点 $E$处，连接 $\mathit{BE}$，得到四边形 $\mathit{ABED}$，则 $\mathit{BE}$的长是 $($　　 $)$

A．4B． $\frac{17}{4}$C． $3\sqrt{2}$D． $2\sqrt{5}$

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{BE}$平分 $\angle \mathit{ABC}$， $\mathit{CF}\perp \mathit{BE}$，连接 $\mathit{AE}$， $G$是 $\mathit{AB}$的中点，连接 $\mathit{GF}$，若 $\mathit{AE}=4$，则 $\mathit{GF}=$　　．

已知四边形 $\mathit{ABCD}$ 是 $\odot O$ 的内接四边形， $\mathit{AC}$ 是 $\odot O$ 的直径， $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$ ，垂足为 $E$ ．

（1）延长 $\mathit{DE}$ 交 $\odot O$ 于点 $F$ ，延长 $\mathit{DC}$ ， $\mathit{FB}$ 交于点 $P$ ，如图1．求证： $\mathit{PC}=\mathit{PB}$ ；

（2）过点 $B$ 作 $\mathit{BG}\perp \mathit{AD}$ ，垂足为 $G$ ， $\mathit{BG}$ 交 $\mathit{DE}$ 于点 $H$ ，且点 $O$ 和点 $A$ 都在 $\mathit{DE}$ 的左侧，如图2．若 $\mathit{AB}=\sqrt{3}$ ， $\mathit{DH}=1$ ， $\angle \mathit{OHD}=80°$ ，求 $\angle \mathit{BDE}$ 的大小．

如图，已知点 $E$、 $F$分别在边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$上， $\mathit{ED}//\mathit{BC}$， $\mathit{EF}//\mathit{AC}$， $\mathit{BE}=\mathit{CF}$．求证： $\mathit{BD}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的角平分线．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，以 $\mathit{AB}$为直径作圆 $O$，分别交 $\mathit{BC}$于点 $D$，交 $\mathit{CA}$的延长线于点 $E$，过点 $D$作 $\mathit{DH}\perp \mathit{AC}$于点 $H$，连接 $\mathit{DE}$交线段 $\mathit{OA}$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{DH}$是圆 $O$的切线；

（2）若 $A$为 $\mathit{EH}$的中点，求 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{FD}}$的值；

（3）若 $\mathit{EA}=\mathit{EF}=1$，求圆 $O$的半径．

如图，已知点 $E$、 $F$分别在边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$上， $\mathit{ED}//\mathit{BC}$， $\mathit{EF}//\mathit{AC}$， $\mathit{BE}=\mathit{CF}$．求证： $\mathit{BD}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的角平分线．