初中数学等边三角形的判定与性质试题

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$相交于点 $O$， $\angle \mathit{AOB}=60°$， $\mathit{AC}=6\mathit{cm}$，则 $\mathit{AB}$的长是 $($　　 $)$

A． $3\mathit{cm}$B． $6\mathit{cm}$C． $10\mathit{cm}$D． $12\mathit{cm}$

如图1， $\mathit{\Delta ABC}$是边长为 $4\mathit{cm}$的等边三角形，边 $\mathit{AB}$在射线 $\mathit{OM}$上，且 $\mathit{OA}=6\mathit{cm}$，点 $D$从 $O$点出发，沿 $\mathit{OM}$的方向以 $1\mathit{cm}/s$的速度运动，当 $D$不与点 $A$重合时，将 $\mathit{\Delta ACD}$绕点 $C$逆时针方向旋转 $60°$得到 $\mathit{\Delta BCE}$，连接 $\mathit{DE}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta CDE}$是等边三角形；

（2）如图2，当 $6<t<10$时， $\mathit{\Delta BDE}$的周长是否存在最小值？若存在，求出 $\mathit{\Delta BDE}$的最小周长；若不存在，请说明理由；

（3）如图3，当点 $D$在射线 $\mathit{OM}$上运动时，是否存在以 $D$、 $E$、 $B$为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时 $t$的值；若不存在，请说明理由．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $C$、 $D$为半圆的三等分点， $\mathit{CE}\perp \mathit{AB}$于点 $E$， $\angle \mathit{ACE}$的度数为　　．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{AC}$是上半圆的弦，过点 $C$作 $\odot O$的切线 $\mathit{DE}$交 $\mathit{AB}$的延长线于点 $E$，过点 $A$作切线 $\mathit{DE}$的垂线，垂足为 $D$，且与 $\odot O$交于点 $F$，设 $\angle \mathit{DAC}$， $\angle \mathit{CEA}$的度数分别是 $\alpha$， $\beta$．

（1）用含 $\alpha$的代数式表示 $\beta$，并直接写出 $\alpha$的取值范围；

（2）连接 $\mathit{OF}$与 $\mathit{AC}$交于点 $O\text{'}$，当点 $O\text{'}$是 $\mathit{AC}$的中点时，求 $\alpha$， $\beta$的值．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，点 $D$， $E$分别是边 $\mathit{BC}$， $\mathit{AB}$上的中点，连接 $\mathit{DE}$并延长至点 $F$，使 $\mathit{EF}=2\mathit{DE}$，连接 $\mathit{CE}$、 $\mathit{AF}$．

（1）证明： $\mathit{AF}=\mathit{CE}$；

（2）当 $\angle B=30°$时，试判断四边形 $\mathit{ACEF}$的形状并说明理由．

如图，已知 $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，点 $P$为圆上一点，点 $C$为 $\mathit{AB}$延长线上一点， $\mathit{PA}=\mathit{PC}$， $\angle C=30°$．

（1）求证： $\mathit{CP}$是 $\odot O$的切线．

（2）若 $\odot O$的直径为8，求阴影部分的面积．

如图， $\angle \mathit{AOB}=60°$， $\mathit{OA}=\mathit{OB}$，动点 $C$从点 $O$出发，沿射线 $\mathit{OB}$方向移动，以 $\mathit{AC}$为边在右侧作等边 $\mathit{\Delta ACD}$，连接 $\mathit{BD}$，则 $\mathit{BD}$所在直线与 $\mathit{OA}$所在直线的位置关系是 $($　　 $)$

A．平行B．相交

C．垂直D．平行、相交或垂直

如图， $\mathit{AB}$与 $\mathit{CD}$相交于点 $O$， $\mathit{AB}=\mathit{CD}$， $\angle \mathit{AOC}=60°$， $\angle \mathit{ACD}+\angle \mathit{ABD}=210°$，则线段 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$之间的等量关系式为　　．

如图， $\mathit{BD}$是 $\odot O$的直径，弦 $\mathit{BC}$与 $\mathit{OA}$相交于点 $E$， $\mathit{AF}$与 $\odot O$相切于点 $A$，交 $\mathit{DB}$的延长线于点 $F$， $\angle F=30°$， $\angle \mathit{BAC}=120°$， $\mathit{BC}=8$．

（1）求 $\angle \mathit{ADB}$的度数；

（2）求 $\mathit{AC}$的长度．

如图，点 $D$是等边三角形 $\mathit{ABC}$外接圆的 $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$上一点（与点 $B$， $C$不重合）， $\mathit{BE}//\mathit{DC}$交 $\mathit{AD}$于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{\Delta BDE}$是等边三角形；

（2）求证： $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta CBD}$；

（3）如果 $\mathit{BD}=2$， $\mathit{CD}=1$，求 $\mathit{\Delta ABC}$的边长．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$相交于点 $O$，点 $E$， $F$在 $\mathit{BD}$上， $\mathit{BE}=\mathit{DF}$．

（1）求证： $\mathit{AE}=\mathit{CF}$；

（2）若 $\mathit{AB}=6$， $\angle \mathit{COD}=60°$，求矩形 $\mathit{ABCD}$的面积．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\angle \mathit{BAC}=120°$，点 $D$在 $\mathit{BC}$边上， $\odot D$经过点 $A$和点 $B$且与 $\mathit{BC}$边相交于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{AC}$是 $\odot D$的切线；

（2）若 $\mathit{CE}=2\sqrt{3}$，求 $\odot D$的半径．

已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BD作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点．

（1）当点P与点O重合时如图1，易证 $\mathit{OE}＝\mathit{OF}$（不需证明）

（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当 $\angle \mathit{OFE}＝30°$时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明．

如图，在菱形 ABCD中， $\angle \mathit{BAD}＝120°$ ，点 E、 F分别在边 AB、 BC上，△ BEF与△ GEF关于直线 EF对称，点 B的对称点是点 G，且点 G在边 AD上．若 $\mathit{EG}\perp \mathit{AC}$ ， $\mathit{AB}＝6\sqrt{2}$ ，则 FG的长为 　　．

已知Rt△ OAB，∠ OAB＝90°，∠ ABO＝30°，斜边 OB＝4，将Rt△ OAB绕点 O顺时针旋转60°，如图1，连接 BC．

（1）填空：∠ OBC＝ 　　°；

（2）如图1，连接 AC，作 OP⊥ AC，垂足为 P，求 OP的长度；

（3）如图2，点 M， N同时从点 O出发，在△ OCB边上运动， M沿 O→ C→ B路径匀速运动， N沿 O→ B→ C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点 M的运动速度为1.5单位/秒，点 N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为 x秒，△ OMN的面积为 y，求当 x为何值时 y取得最大值？最大值为多少？