初中数学含30度角的直角三角形试题

我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AO}$是 $\mathit{BC}$边上的中线， $\mathit{AB}$与 $\mathit{AC}$的“极化值”就等于 $A{O}^2-B{O}^2$的值，可记为 $\mathit{AB}$△ $\mathit{AC}=A{O}^2-B{O}^2$．

（1）在图1中，若 $\angle \mathit{BAC}=90°$， $\mathit{AB}=8$， $\mathit{AC}=6$， $\mathit{AO}$是 $\mathit{BC}$边上的中线，则 $\mathit{AB}$△ $\mathit{AC}=$　      　， $\mathit{OC}$△ $\mathit{OA}=$　     　；

（2）如图2，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=4$， $\angle \mathit{BAC}=120°$，求 $\mathit{AB}$△ $\mathit{AC}$、 $\mathit{BA}$△ $\mathit{BC}$的值；

（3）如图3，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{AO}$是 $\mathit{BC}$边上的中线，点 $N$在 $\mathit{AO}$上，且 $\mathit{ON}=\frac{1}{3}\mathit{AO}$．已知 $\mathit{AB}$△ $\mathit{AC}=14$， $\mathit{BN}$△ $\mathit{BA}=10$，求 $\mathit{\Delta ABC}$的面积．

思维启迪：

（1）如图1， $A$， $B$两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量 $A$， $B$间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达 $B$点的点 $C$，连接 $\mathit{BC}$，取 $\mathit{BC}$的中点 $P$（点 $P$可以直接到达 $A$点），利用工具过点 $C$作 $\mathit{CD}//\mathit{AB}$交 $\mathit{AP}$的延长线于点 $D$，此时测得 $\mathit{CD}=200$米，那么 $A$， $B$间的距离是　200　米．

思维探索：

（2）在 $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta ADE}$中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$， $\mathit{AE}=\mathit{DE}$，且 $\mathit{AE}<\mathit{AC}$， $\angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{AED}=90°$，将 $\mathit{\Delta ADE}$绕点 $A$顺时针方向旋转，把点 $E$在 $\mathit{AC}$边上时 $\mathit{\Delta ADE}$的位置作为起始位置（此时点 $B$和点 $D$位于 $\mathit{AC}$的两侧），设旋转角为 $\alpha$，连接 $\mathit{BD}$，点 $P$是线段 $\mathit{BD}$的中点，连接 $\mathit{PC}$， $\mathit{PE}$．

①如图2，当 $\mathit{\Delta ADE}$在起始位置时，猜想： $\mathit{PC}$与 $\mathit{PE}$的数量关系和位置关系分别是　　；

②如图3，当 $\alpha =90°$时，点 $D$落在 $\mathit{AB}$边上，请判断 $\mathit{PC}$与 $\mathit{PE}$的数量关系和位置关系，并证明你的结论；

③当 $\alpha =150°$时，若 $\mathit{BC}=3$， $\mathit{DE}=1$，请直接写出 $P{C}^2$的值．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=2$， $\mathit{BC}=3$，点 $E$为 $\mathit{AD}$上一点，且 $\angle \mathit{ABE}=30°$，将 $\mathit{\Delta ABE}$沿 $\mathit{BE}$翻折，得到△ $A\text{'}\mathit{BE}$，连接 $\mathit{CA}\text{'}$并延长，与 $\mathit{AD}$相交于点 $F$，则 $\mathit{DF}$的长为　　．

现有 $A$、 $B$两个大型储油罐，它们相距 $2\mathit{km}$，计划修建一条笔直的输油管道，使得 $A$、 $B$两个储油罐到输油管道所在直线的距离都为 $0.5\mathit{km}$，输油管道所在直线符合上述要求的设计方案有　　种．

如图， $\angle \mathit{AOB}=60°$，以点 $O$为圆心，以任意长为半径作弧交 $\mathit{OA}$， $\mathit{OB}$于 $C$， $D$两点；分别以 $C$， $D$为圆心，以大于 $\frac{1}{2}\mathit{CD}$的长为半径作弧，两弧相交于点 $P$；以 $O$为端点作射线 $\mathit{OP}$，在射线 $\mathit{OP}$上截取线段 $\mathit{OM}=6$，则 $M$点到 $\mathit{OB}$的距离为 $($　　 $)$

A．6B．2C．3D． $3\sqrt{3}$

如图所示，直线 $\mathit{DP}$和圆 $O$相切于点 $C$，交直径 $\mathit{AE}$的延长线于点 $P$．过点 $C$作 $\mathit{AE}$的垂线，交 $\mathit{AE}$于点 $F$，交圆 $O$于点 $B$．作平行四边形 $\mathit{ABCD}$，连接 $\mathit{BE}$， $\mathit{DO}$， $\mathit{CO}$．

（1）求证： $\mathit{DA}=\mathit{DC}$；

（2）求 $\angle P$及 $\angle \mathit{AEB}$的大小．

如图，已知 $\text{Rt}\Delta \text{ABE}$中 $\angle A=90°$， $\angle B=60°$， $\mathit{BE}=10$， $D$是线段 $\mathit{AE}$上的一动点，过 $D$作 $\mathit{CD}$交 $\mathit{BE}$于 $C$，并使得 $\angle \mathit{CDE}=30°$，则 $\mathit{CD}$长度的取值范围是　　．

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AE}$是 $\mathit{BC}$边上的高，点 $F$是 $\mathit{DE}$的中点， $\mathit{AB}$与 $\mathit{AG}$关于 $\mathit{AE}$对称， $\mathit{AE}$与 $\mathit{AF}$关于 $\mathit{AG}$对称．

（1）求证： $\mathit{\Delta AEF}$是等边三角形；

（2）若 $\mathit{AB}=2$，求 $\mathit{\Delta AFD}$的面积．

如图，已知 $\angle \mathit{AOB}=30°$， $P$是 $\angle \mathit{AOB}$平分线上一点， $\mathit{CP}//\mathit{OB}$，交 $\mathit{OA}$于点 $C$， $\mathit{PD}\perp \mathit{OB}$，垂足为点 $D$，且 $\mathit{PC}=4$，则 $\mathit{PD}$等于 $($　　 $)$

A．1B．2C．4D．8

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle C=90°$， $\angle B=30°$， $\mathit{AB}$的垂直平分线 $\mathit{ED}$交 $\mathit{AB}$于点 $E$，交 $\mathit{BC}$于点 $D$，若 $\mathit{CD}=3$，则 $\mathit{BD}$的长为　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{BC}=8$， $O$是 $\mathit{AB}$上一点， $\mathit{AO}=\mathit{BO}$，点 $M$是射线 $\mathit{CO}$上的一个动点， $\angle \mathit{AOC}=60°$，则当 $\mathit{\Delta ABM}$为直角三角形时， $\mathit{AM}$的长为　　．

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle B=\angle D=90°$， $\angle A=60°$， $\mathit{AB}=4$，则 $\mathit{AD}$的取值范围是　　．

四边形具有不稳定性．如图，矩形 $\mathit{ABCD}$按箭头方向变形成平行四边形 $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$，当变形后图形面积是原图形面积的一半时，则 $\angle A^{\text{'}}=$　　．

已知等边 $\mathit{\Delta ABC}$的边长为12， $D$是 $\mathit{AB}$上的动点，过 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$于点 $E$，过 $E$作 $\mathit{EF}\perp \mathit{BC}$于点 $F$，过 $F$作 $\mathit{FG}\perp \mathit{AB}$于点 $G$．当 $G$与 $D$重合时， $\mathit{AD}$的长是 $($　　 $)$

A．3B．4C．8D．9

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，将 $\mathit{\Delta ABC}$绕顶点 $C$逆时针旋转得到△ $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}C$， $M$是 $\mathit{BC}$的中点， $P$是 $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}$的中点，连接 $\mathit{PM}$．若 $\mathit{BC}=2$， $\angle \mathit{BAC}=30°$，则线段 $\mathit{PM}$的最大值是 $($　　 $)$

A．4B．3C．2D．1