初中数学含30度角的直角三角形试题

图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形 $\mathit{ABCD}$ 的对角线 $\mathit{BD}$ 上，时钟中心在矩形 $\mathit{ABCD}$ 对角线的交点 $O$ 上．若 $\mathit{AB}=30\mathit{cm}$ ，则 $\mathit{BC}$ 长为 　　 $\mathit{cm}$ （结果保留根号）．

如图是一张矩形纸片 $\mathit{ABCD}$ ，点 $M$ 是对角线 $\mathit{AC}$ 的中点，点 $E$ 在 $\mathit{BC}$ 边上，把 $\mathit{\Delta DCE}$ 沿直线 $\mathit{DE}$ 折叠，使点 $C$ 落在对角线 $\mathit{AC}$ 上的点 $F$ 处，连接 $\mathit{DF}$ ， $\mathit{EF}$ ．若 $\mathit{MF}=\mathit{AB}$ ，则 $\angle \mathit{DAF}=$ 　　度．

如图， $\mathit{EF}$ 与 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{BC}$ ， $\mathit{CD}$ 分别交于点 $E$ ， $G$ ， $F$ ，且 $\angle 1=\angle 2=30°$ ， $\mathit{EF}\perp \mathit{AB}$ ，则下列结论错误的是 $($ 　　 $)$

A．

$\mathit{AB}//\mathit{CD}$

B．

$\angle 3=60°$

C．

$\mathit{FG}=\frac{1}{2}\mathit{FC}$

D．

$\mathit{GF}\perp \mathit{CD}$

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$ 中，点 $E$ 在 $\mathit{AD}$ 上，且 $\mathit{EC}$ 平分 $\angle \mathit{BED}$ ，若 $\angle \mathit{EBC}=30°$ ， $\mathit{BE}=10$ ，则 $▱\mathit{ABCD}$ 的面积为 　　．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\angle \mathit{CBA}=30°$ ， $\mathit{AC}=1$ ， $D$ 是 $\mathit{AB}$ 上一点（点 $D$ 与点 $A$ 不重合）．若在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 的直角边上存在4个不同的点分别和点 $A$ 、 $D$ 成为直角三角形的三个顶点，则 $\mathit{AD}$ 长的取值范围是 　　．

如图①，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\angle A=60°$ ， $\mathit{CD}$ 是斜边 $\mathit{AB}$ 上的中线，点 $E$ 为射线 $\mathit{BC}$ 上一点，将 $\mathit{\Delta BDE}$ 沿 $\mathit{DE}$ 折叠，点 $B$ 的对应点为点 $F$ ．

（1）若 $\mathit{AB}=a$ ．直接写出 $\mathit{CD}$ 的长（用含 $a$ 的代数式表示）；

（2）若 $\mathit{DF}\perp \mathit{BC}$ ，垂足为 $G$ ，点 $F$ 与点 $D$ 在直线 $\mathit{CE}$ 的异侧，连接 $\mathit{CF}$ ，如②，判断四边形 $\mathit{ADFC}$ 的形状，并说明理由；

（3）若 $\mathit{DF}\perp \mathit{AB}$ ，直接写出 $\angle \mathit{BDE}$ 的度数．

将一物体（视为边长为 $\frac{2}{\pi }$ 米的正方形 $\mathit{ABCD})$ 从地面 $\mathit{PQ}$ 上挪到货车车厢内．如图所示，刚开始点 $B$ 与斜面 $\mathit{EF}$ 上的点 $E$ 重合，先将该物体绕点 $B$ （E）按逆时针方向旋转至正方形 $A_{1}B{C}_1{D}_1$ 的位置，再将其沿 $\mathit{EF}$ 方向平移至正方形 $A_2{B}_2{C}_2{D}_2$ 的位置（此时点 $B_2$ 与点 $G$ 重合），最后将物体移到车厢平台面 $\mathit{MG}$ 上．已知 $\mathit{MG}//\mathit{PQ}$ ， $\angle \mathit{FBP}=30°$ ，过点 $F$ 作 $\mathit{FH}\perp \mathit{MG}$ 于点 $H$ ， $\mathit{FH}=\frac{1}{3}$ 米， $\mathit{EF}=4$ 米．

（1）求线段 $\mathit{FG}$ 的长度；

（2）求在此过程中点 $A$ 运动至点 $A_2$ 所经过的路程．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\angle A=60°$ ，点 $D$ 为 $\mathit{AB}$ 的中点，连接 $\mathit{CD}$ ，将线段 $\mathit{CD}$ 绕点 $D$ 顺时针旋转 $\alpha (60°<\alpha <120°)$ 得到线段 $\mathit{ED}$ ，且 $\mathit{ED}$ 交线段 $\mathit{BC}$ 于点 $G$ ， $\angle \mathit{CDE}$ 的平分线 $\mathit{DM}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $H$ ．

（1）如图1，若 $\alpha =90°$ ，则线段 $\mathit{ED}$ 与 $\mathit{BD}$ 的数量关系是 　　， $\frac{\mathit{GD}}{\mathit{CD}}=$ 　　；

（2）如图2，在（1）的条件下，过点 $C$ 作 $\mathit{CF}//\mathit{DE}$ 交 $\mathit{DM}$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{EF}$ ， $\mathit{BE}$ ．

①试判断四边形 $\mathit{CDEF}$ 的形状，并说明理由；

②求证： $\frac{\mathit{BE}}{\mathit{FH}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ；

（3）如图3，若 $\mathit{AC}=2$ ， $\tan (\alpha -60°)=m$ ，过点 $C$ 作 $\mathit{CF}//\mathit{DE}$ 交 $\mathit{DM}$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{EF}$ ， $\mathit{BE}$ ，请直接写出 $\frac{\mathit{BE}}{\mathit{FH}}$ 的值（用含 $m$ 的式子表示）．

在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$， $\angle B=30°$，以顶点 $A$为圆心，适当长为半径画弧，分别交 $\mathit{AC}$， $\mathit{AB}$于点 $E$， $F$；再分别以点 $E$， $F$为圆心，大于 $\frac{1}{2}\mathit{EF}$的长为半径画弧，两弧交于点 $P$，作射线 $\mathit{AP}$交 $\mathit{BC}$于点 $D$．则 $\mathit{CD}$与 $\mathit{BD}$的数量关系是　　．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$ 是 $\odot O$ 的内接三角形， $\mathit{AB}=\mathit{BC}$ ， $\angle \mathit{BAC}=30°$ ， $\mathit{AD}$ 是直径， $\mathit{AD}=8$ ，则 $\mathit{AC}$ 的长为 $($ 　　 $)$

A．

4

B．

$4\sqrt{3}$

C．

$\frac{8}{3}\sqrt{3}$

D．

$2\sqrt{3}$

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ，点 $E$ ， $F$ ， $G$ 分别在边 $\mathit{BC}$ ， $\mathit{CD}$ 上， $\mathit{BE}=\mathit{CG}$ ， $\mathit{AF}$ 平分 $\angle \mathit{EAG}$ ，点 $H$ 是线段 $\mathit{AF}$ 上一动点（与点 $A$ 不重合）．

（1）求证： $\mathit{\Delta AEH}\cong \mathit{\Delta AGH}$ ；

（2）当 $\mathit{AB}=12$ ， $\mathit{BE}=4$ 时．

求 $\mathit{\Delta DGH}$ 周长的最小值；

②若点 $O$ 是 $\mathit{AC}$ 的中点，是否存在直线 $\mathit{OH}$ 将 $\mathit{\Delta ACE}$ 分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为 $1:3$ ．若存在，请求出 $\frac{\mathit{AH}}{\mathit{AF}}$ 的值；若不存在，请说明理由．

四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形．当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形 $\mathit{ABCD}$的内角，正方形 $\mathit{ABCD}$变为菱形 $\mathit{ABC}\text{'}D\text{'}$．若 $\angle D\text{'}\mathit{AB}=30°$，则菱形 $\mathit{ABC}\text{'}D\text{'}$的面积与正方形 $\mathit{ABCD}$的面积之比是 $($　　 $)$

A．1B． $\frac{1}{2}$C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$， $\angle \mathit{ABC}=30°$， $\mathit{AC}=1\mathit{cm}$，将 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$绕点 $A$逆时针旋转得到 $\mathit{Rt}$△ $A{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$，使点 $C^{\text{'}}$落在 $\mathit{AB}$边上，连接 $B{B}^{\text{'}}$，则 $B{B}^{\text{'}}$的长度是 $($　　 $)$

A． $1\mathit{cm}$B． $2\mathit{cm}$C． $\sqrt{3}\mathit{cm}$D． $2\sqrt{3}\mathit{cm}$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{BC}=\sqrt{3}$， $\angle \mathit{BAC}=30°$，分别以点 $A$， $C$为圆心， $\mathit{AC}$的长为半径作弧，两弧交于点 $D$，连接 $\mathit{DA}$， $\mathit{DC}$，则四边形 $\mathit{ABCD}$的面积为 $($　　 $)$

A． $6\sqrt{3}$B．9C．6D． $3\sqrt{3}$

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$相交于点 $O$，已知 $\angle \mathit{BOC}=120°$， $\mathit{DC}=3\mathit{cm}$，则 $\mathit{AC}$的长为　　 $\mathit{cm}$．