初中数学菱形的性质解答题

菱形 $\mathit{ABCD}$中、 $\angle \mathit{BAD}=120°$，点 $O$为射线 $\mathit{CA}$ 上的动点，作射线 $\mathit{OM}$与直线 $\mathit{BC}$相交于点 $E$，将射线 $\mathit{OM}$绕点 $O$逆时针旋转 $60°$，得到射线 $\mathit{ON}$，射线 $\mathit{ON}$与直线 $\mathit{CD}$相交于点 $F$．

（1）如图①，点 $O$与点 $A$重合时，点 $E$， $F$分别在线段 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$上，请直接写出 $\mathit{CE}$， $\mathit{CF}$， $\mathit{CA}$三条段段之间的数量关系；

（2）如图②，点 $O$在 $\mathit{CA}$的延长线上，且 $\mathit{OA}=\frac{1}{3}\mathit{AC}$， $E$， $F$分别在线段 $\mathit{BC}$的延长线和线段 $\mathit{CD}$的延长线上，请写出 $\mathit{CE}$， $\mathit{CF}$， $\mathit{CA}$三条线段之间的数量关系，并说明理由；

（3）点 $O$在线段 $\mathit{AC}$上，若 $\mathit{AB}=6$， $\mathit{BO}=2\sqrt{7}$，当 $\mathit{CF}=1$时，请直接写出 $\mathit{BE}$的长．

如图， 已知四边形 $\mathit{ABCD}$是菱形， $\mathit{DF}\perp \mathit{AB}$于点 $F$， $\mathit{BE}\perp \mathit{CD}$于点 $E$．

（1） 求证： $\mathit{AF}=\mathit{CE}$；

（2） 若 $\mathit{DE}=2$， $\mathit{BE}=4$，求 $\sin \angle \mathit{DAF}$的值 ．

如图，在平面直角坐标系中，菱形 $\mathit{OBCD}$的边 $\mathit{OB}$在 $x$轴上，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象经过菱形对角线的交点 $A$，且与边 $\mathit{BC}$交于点 $F$，点 $A$的坐标为 $(4,2)$．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）求点 $F$的坐标．

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，把 $\mathit{\Delta ABC}$绕 $A$点沿顺时针方向旋转得到 $\mathit{\Delta ADE}$，连接 $\mathit{BD}$， $\mathit{CE}$交于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{\Delta AEC}\cong \mathit{\Delta ADB}$；

（2）若 $\mathit{AB}=2$， $\angle \mathit{BAC}=45°$，当四边形 $\mathit{ADFC}$是菱形时，求 $\mathit{BF}$的长．

菱形 $\mathit{ABCD}$的周长为8， $\angle \mathit{ABC}+\angle \mathit{ADC}=90°$，以 $\mathit{AB}$为腰，在菱形外作底角是 $45°$的等腰 $\mathit{\Delta ABE}$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{CE}$．请画出图形，并直接写出 $\mathit{\Delta ACE}$的面积．

如图，菱形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AB}$在 $x$轴上，点 $A$的坐标为 $(1,0)$，点 $D(4,4)$在反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象上，直线 $y=\frac{2}{3}x+b$经过点 $C$，与 $y$轴交于点 $E$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{AE}$．

（1）求 $k$， $b$的值；

（2）求 $\mathit{\Delta ACE}$的面积．

如图，菱形 $\mathit{ABCD}$中，作 $\mathit{BE}\perp \mathit{AD}$、 $\mathit{CF}\perp \mathit{AB}$，分别交 $\mathit{AD}$、 $\mathit{AB}$的延长线于点 $E$、 $F$．

（1）求证： $\mathit{AE}=\mathit{BF}$；

（2）若点 $E$恰好是 $\mathit{AD}$的中点， $\mathit{AB}=2$，求 $\mathit{BD}$的值．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中，点 $P$在对角线 $\mathit{AC}$上，且 $\mathit{PA}=\mathit{PD}$， $\odot O$是 $\mathit{\Delta PAD}$的外接圆．

（1）求证： $\mathit{AB}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AC}=8$， $\tan \angle \mathit{BAC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，求 $\odot O$的半径．

以菱形 $\mathit{ABCD}$的对角线交点 $O$为坐标原点， $\mathit{AC}$所在的直线为 $x$轴，已知 $A(-4,0)$， $B(0,-2)$， $M(0,4)$， $P$为折线 $\mathit{BCD}$上一动点，作 $\mathit{PE}\perp y$轴于点 $E$，设点 $P$的纵坐标为 $a$．

（1）求 $\mathit{BC}$边所在直线的解析式；

（2）设 $y=M{P}^2+O{P}^2$，求 $y$关于 $a$的函数关系式；

（3）当 $\mathit{\Delta OPM}$为直角三角形时，求点 $P$的坐标．

如图，以菱形 $\mathit{ABCD}$对角线交点为坐标原点，建立平面直角坐标系， $A$、 $B$两点的坐标分别为 $(-2\sqrt{5}$， $0)$、 $(0,-\sqrt{5})$，直线 $\mathit{DE}\perp \mathit{DC}$交 $\mathit{AC}$于 $E$，动点 $P$从点 $A$出发，以每秒2个单位的速度沿着 $A\to D\to C$的路线向终点 $C$匀速运动，设 $\mathit{\Delta PDE}$的面积为 $S(S\ne 0)$，点 $P$的运动时间为 $t$秒．

（1）求直线 $\mathit{DE}$的解析式；

（2）求 $S$与 $t$之间的函数关系式，并写出自变量 $t$的取值范围；

（3）当 $t$为何值时， $\angle \mathit{EPD}+\angle \mathit{DCB}=90°$？并求出此时直线 $\mathit{BP}$与直线 $\mathit{AC}$所夹锐角的正切值．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是菱形， $\mathit{CE}\perp \mathit{AB}$交 $\mathit{AB}$的延长线于点 $E$， $\mathit{CF}\perp \mathit{AD}$交 $\mathit{AD}$的延长线于点 $F$，求证： $\mathit{DF}=\mathit{BE}$．

如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线 $y\mathit{＝﹣}x+b$与坐标轴交于C，D两点，直线AB与坐标轴交于A，B两点，线段OA，OC的长是方程 $x^2﹣3x+2＝0$的两个根 $（\mathit{OA}＞\mathit{OC}）$．

（1）求点A，C的坐标；

（2）直线AB与直线CD交于点E，若点E是线段AB的中点，反比例函数 $y=\frac{\text{k}}{\text{x}}(k\ne 0)$的图象的一个分支经过点E，求k的值；

（3）在（2）的条件下，点M在直线CD上，坐标平面内是否存在点N，使以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在菱形 ABCD中， G是 BD上一点，连接 CG并延长交 BA的延长线于点 F，交 AD于点 E．

（1）求证： AG＝ CG．

（2）求证： AG ²＝ GE• GF．

如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．

（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；

（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．

如图， BD是菱形 ABCD的对角线，∠ CBD＝75°，

（1）请用尺规作图法，作 AB的垂直平分线 EF，垂足为 E，交 AD于 F；（不要求写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）条件下，连接 BF，求∠ DBF的度数．