初中数学正方形的判定试题

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\angle A=60°$ ，点 $D$ 为 $\mathit{AB}$ 的中点，连接 $\mathit{CD}$ ，将线段 $\mathit{CD}$ 绕点 $D$ 顺时针旋转 $\alpha (60°<\alpha <120°)$ 得到线段 $\mathit{ED}$ ，且 $\mathit{ED}$ 交线段 $\mathit{BC}$ 于点 $G$ ， $\angle \mathit{CDE}$ 的平分线 $\mathit{DM}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $H$ ．

（1）如图1，若 $\alpha =90°$ ，则线段 $\mathit{ED}$ 与 $\mathit{BD}$ 的数量关系是 　　， $\frac{\mathit{GD}}{\mathit{CD}}=$　　；

（2）如图2，在（1）的条件下，过点 $C$ 作 $\mathit{CF}//\mathit{DE}$ 交 $\mathit{DM}$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{EF}$ ， $\mathit{BE}$ ．

①试判断四边形 $\mathit{CDEF}$ 的形状，并说明理由；

②求证： $\frac{\mathit{BE}}{\mathit{FH}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ；

（3）如图3，若 $\mathit{AC}=2$ ， $\tan (\alpha -60°)=m$ ，过点 $C$ 作 $\mathit{CF}//\mathit{DE}$ 交 $\mathit{DM}$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{EF}$ ， $\mathit{BE}$ ，请直接写出 $\frac{\mathit{BE}}{\mathit{FH}}$ 的值（用含 $m$ 的式子表示）．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $E$是边 $\mathit{AB}$上一点， $\mathit{BE}=\mathit{BC}$， $\mathit{EF}\perp \mathit{CD}$，垂足为 $F$．将四边形 $\mathit{CBEF}$绕点 $C$顺时针旋转 $\alpha (0°<\alpha <90°)$，得到四边形 $C{B}^{\text{'}}{E}^{\text{'}}F\text{'}$， $B\text{'}E\text{'}$所在的直线分别交直线 $\mathit{BC}$于点 $G$，交直线 $\mathit{AD}$于点 $P$，交 $\mathit{CD}$于点 $K$． $E\text{'}F\text{'}$所在的直线分别交直线 $\mathit{BC}$于点 $H$，交直线 $\mathit{AD}$于点 $Q$，连接 $B\text{'}F\text{'}$交 $\mathit{CD}$于点 $O$．

（1）如图1，求证：四边形 $\mathit{BEFC}$是正方形；

（2）如图2，当点 $Q$和点 $D$重合时．

①求证： $\mathit{GC}=\mathit{DC}$；

②若 $\mathit{OK}=1$， $\mathit{CO}=2$，求线段 $\mathit{GP}$的长；

（3）如图3，若 $\mathit{BM}//F\text{'}B\text{'}$交 $\mathit{GP}$于点 $M$， $\tan \angle G=\frac{1}{2}$，求 $\frac{S_{\mathit{\Delta GMB}}}{S_{△\mathit{CF}\text{'}H}}$的值．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$过点 $A(1,0)$， $B(3,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C$， $\mathit{OC}=3$．

（1）求抛物线的解析式及顶点 $D$的坐标；

（2）过点 $A$作 $\mathit{AM}\perp \mathit{BC}$，垂足为 $M$，求证：四边形 $\mathit{ADBM}$为正方形；

（3）点 $P$为抛物线在直线 $\mathit{BC}$下方图形上的一动点，当 $\mathit{\Delta PBC}$面积最大时，求点 $P$的坐标；

（4）若点 $Q$为线段 $\mathit{OC}$上的一动点，问： $\mathit{AQ}+\frac{1}{2}\mathit{QC}$是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．

小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．

（1）温故：如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AD}\perp \mathit{BC}$于点 $D$，正方形 $\mathit{PQMN}$的边 $\mathit{QM}$在 $\mathit{BC}$上，顶点 $P$， $N$分别在 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$上，若 $\mathit{BC}=a$， $\mathit{AD}=h$，求正方形 $\mathit{PQMN}$的边长（用 $a$， $h$表示）．

（2）操作：如何画出这个正方形 $\mathit{PQMN}$呢？

如图2，小波画出了图1的 $\mathit{\Delta ABC}$，然后按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：先在 $\mathit{AB}$上任取一点 $P^{\text{'}}$，画正方形 $P^{\text{'}}{Q}^{\text{'}}{M}^{\text{'}}{N}^{\text{'}}$，使点 $Q^{\text{'}}$， $M^{\text{'}}$在 $\mathit{BC}$边上，点 $N^{\text{'}}$在 $\mathit{\Delta ABC}$内，然后连结 $B{N}^{\text{'}}$，并延长交 $\mathit{AC}$于点 $N$，画 $\mathit{NM}\perp \mathit{BC}$于点 $M$， $\mathit{NP}\perp \mathit{NM}$交 $\mathit{AB}$于点 $P$， $\mathit{PQ}\perp \mathit{BC}$于点 $Q$，得到四边形 $\mathit{PQMN}$．

（3）推理：证明图2中的四边形 $\mathit{PQMN}$是正方形．

（4）拓展：小波把图2中的线段 $\mathit{BN}$称为“波利亚线”，在该线上截取 $\mathit{NE}=\mathit{NM}$，连结 $\mathit{EQ}$， $\mathit{EM}$（如图 $3)$，当 $\angle \mathit{QEM}=90°$时，求“波利亚线” $\mathit{BN}$的长（用 $a$， $h$表示）．

请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．