初中数学正方形的判定试题

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $E$是边 $\mathit{AB}$上一点， $\mathit{BE}=\mathit{BC}$， $\mathit{EF}\perp \mathit{CD}$，垂足为 $F$．将四边形 $\mathit{CBEF}$绕点 $C$顺时针旋转 $\alpha (0°<\alpha <90°)$，得到四边形 $C{B}^{\text{'}}{E}^{\text{'}}F\text{'}$， $B\text{'}E\text{'}$所在的直线分别交直线 $\mathit{BC}$于点 $G$，交直线 $\mathit{AD}$于点 $P$，交 $\mathit{CD}$于点 $K$． $E\text{'}F\text{'}$所在的直线分别交直线 $\mathit{BC}$于点 $H$，交直线 $\mathit{AD}$于点 $Q$，连接 $B\text{'}F\text{'}$交 $\mathit{CD}$于点 $O$．

（1）如图1，求证：四边形 $\mathit{BEFC}$是正方形；

（2）如图2，当点 $Q$和点 $D$重合时．

①求证： $\mathit{GC}=\mathit{DC}$；

②若 $\mathit{OK}=1$， $\mathit{CO}=2$，求线段 $\mathit{GP}$的长；

（3）如图3，若 $\mathit{BM}//F\text{'}B\text{'}$交 $\mathit{GP}$于点 $M$， $\tan \angle G=\frac{1}{2}$，求 $\frac{S_{\mathit{\Delta GMB}}}{S_{△\mathit{CF}\text{'}H}}$的值．

已知抛物线过点，两点，与轴交于点，．

（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；

（2）过点作，垂足为，求证：四边形为正方形；

（3）点为抛物线在直线下方图形上的一动点，当面积最大时，求点的坐标；

（4）若点为线段上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．

小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．

（1）温故：如图1，在中，于点，正方形的边在上，顶点，分别在，上，若，，求正方形的边长（用，表示）．

（2）操作：如何画出这个正方形呢？

如图2，小波画出了图1的，然后按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：先在上任取一点，画正方形，使点，在边上，点在内，然后连结，并延长交于点，画于点，交于点，于点，得到四边形．

（3）推理：证明图2中的四边形是正方形．

（4）拓展：小波把图2中的线段称为“波利亚线”，在该线上截取，连结，（如图，当时，求“波利亚线” 的长（用，表示）．

请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．