初中数学正方形的判定与性质试题

如图，正方形中，点、分别为、上的点，且 $\mathit{AE}=\mathit{CF}=\frac{1}{3}\mathit{AB}$，点为线段的中点，过点作直线与正方形的一组对边分别交于、两点，并且满足，则这样的直线（不同于有　　条．

【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．

1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？

【问题解决】如图①，已知矩形纸片 $\mathit{ABCD}(\mathit{AB}>\mathit{AD})$ ，将矩形纸片沿过点 $D$ 的直线折叠，使点 $A$ 落在边 $\mathit{DC}$ 上，点 $A$ 的对应点为 $A\text{'}$ ，折痕为 $\mathit{DE}$ ，点 $E$ 在 $\mathit{AB}$ 上．求证：四边形 $\mathit{AEA}\text{'}D$ 是正方形．

【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△ $A\text{'}\mathit{DE}$ 为等腰三角形．现将图①中的点 $A\text{'}$ 沿 $\mathit{DC}$ 向右平移至点 $Q$ 处（点 $Q$ 在点 $C$ 的左侧），如图②，折痕为 $\mathit{PF}$ ，点 $F$ 在 $\mathit{DC}$ 上，点 $P$ 在 $\mathit{AB}$ 上，那么 $\mathit{\Delta PQF}$ 还是等腰三角形吗？请说明理由．

[结论应用]在图②中，当 $\mathit{QC}=\mathit{QP}$ 时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点 $C$ 与点 $P$ 重合，折痕为 $\mathit{QG}$ ，点 $G$ 在 $\mathit{AB}$ 上．要使四边形 $\mathit{PGQF}$ 为菱形，则 $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{AB}}=$ 　 　．

如图，在扇形 $\mathit{OAB}$ 中，已知 $\angle \mathit{AOB}=90°$ ， $\mathit{OA}=\sqrt{2}$ ，过 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$ 的中点 $C$ 作 $\mathit{CD}\perp \mathit{OA}$ ， $\mathit{CE}\perp \mathit{OB}$ ，垂足分别为 $D$ 、 $E$ ，则图中阴影部分的面积为 $($ 　　 $)$

A．

$\pi -1$

B．

$\frac{\pi }{2}-1$

C．

$\pi -\frac{1}{2}$

D．

$\frac{\pi }{2}-\frac{1}{2}$

如图，在平面直角坐标系中，点 $P$ 在第一象限， $\odot P$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴都相切，且经过矩形 $\mathit{AOBC}$ 的顶点 $C$ ，与 $\mathit{BC}$ 相交于点 $D$ ．若 $\odot P$ 的半径为5，点 $A$ 的坐标是 $(0,8)$ ．则点 $D$ 的坐标是 $($ 　　 $)$

A．

$(9,2)$

B．

$(9,3)$

C．

$(10,2)$

D．

$(10,3)$

菱形 $\mathit{ABCD}$ 的对角线 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ， $0°<\angle \mathit{ABO}⩽60°$ ，点 $G$ 是射线 $\mathit{OD}$ 上一个动点，过点 $G$ 作 $\mathit{GE}//\mathit{DC}$ 交射线 $\mathit{OC}$ 于点 $E$ ，以 $\mathit{OE}$ ， $\mathit{OG}$ 为邻边作矩形 $\mathit{EOGF}$ ．

（1）如图1，当点 $F$ 在线段 $\mathit{DC}$ 上时，求证： $\mathit{DF}=\mathit{FC}$ ；

（2）若延长 $\mathit{AD}$ 与边 $\mathit{GF}$ 交于点 $H$ ，将 $\mathit{\Delta GDH}$ 沿直线 $\mathit{AD}$ 翻折 $180°$ 得到 $\mathit{\Delta MDH}$ ．

①如图2，当点 $M$ 在 $\mathit{EG}$ 上时，求证：四边形 $\mathit{EOGF}$ 为正方形；

②如图3，当 $\tan \angle \mathit{ABO}$ 为定值 $m$ 时，设 $\mathit{DG}=k·\mathit{DO}$ ， $k$ 为大于0的常数，当且仅当 $k>2$ 时，点 $M$ 在矩形 $\mathit{EOGF}$ 的外部，求 $m$ 的值．

如图，四边形中，对角线与交于点，且．

（1）求证：四边形是正方形；

（2）若是边上一点与，不重合），连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，过点分别作及延长线的垂线，垂足分别为，．设四边形的面积为，以，为邻边的矩形的面积为，且．当时，求的长．

如图，在矩形纸片 $\mathit{ABCD}$ 中，将 $\mathit{AB}$ 沿 $\mathit{BM}$ 翻折，使点 $A$ 落在 $\mathit{BC}$ 上的点 $N$ 处， $\mathit{BM}$ 为折痕，连接 $\mathit{MN}$ ；再将 $\mathit{CD}$ 沿 $\mathit{CE}$ 翻折，使点 $D$ 恰好落在 $\mathit{MN}$ 上的点 $F$ 处， $\mathit{CE}$ 为折痕，连接 $\mathit{EF}$ 并延长交 $\mathit{BM}$ 于点 $P$ ，若 $\mathit{AD}=8$ ， $\mathit{AB}=5$ ，则线段 $\mathit{PE}$ 的长等于 　　．

小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．

（1）温故：如图1，在中，于点，正方形的边在上，顶点，分别在，上，若，，求正方形的边长．

（2）操作：能画出这类正方形吗？小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2，任意画，在上任取一点，画正方形，使，在边上，在内，连结并延长交于点，画于点，交于点，于点，得到四边形．小波把线段称为“波利亚线”．

（3）推理：证明图2中的四边形是正方形．

（4）拓展：在（2）的条件下，在射线上截取，连结，（如图．当时，猜想的度数，并尝试证明．

请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．

综合与实践

背景阅读 早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中，为了方便，在本题中，我们把三边的比为的三角形称为，4，型三角形，例如：三边长分别为9，12，15或，，的三角形就是，4，型三角形，用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形．

实践操作 如图1，在矩形纸片中，，．

第一步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕为，再沿折叠，然后把纸片展平．

第二步：如图3，将图2中的矩形纸片再次折叠，使点与点重合，折痕为，然后展平，隐去．

第三步：如图4，将图3中的矩形纸片沿折叠，得到△，再沿折叠，折痕为，与折痕交于点，然后展平．

问题解决

（1）请在图2中证明四边形是正方形．

（2）请在图4中判断与的数量关系，并加以证明；

（3）请在图4中证明，4，型三角形；

探索发现

（4）在不添加字母的情况下，图4中还有哪些三角形是，4，型三角形？请找出并直接写出它们的名称．

已知：如图，四边形中，，，是对角线上一点，且．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）如果，且，求证：四边形是正方形．

如图，在四边形中，，，连接．若，则四边形的面积为　　．