初中数学正方形的判定与性质计算题

如图（1），已知点 $G$在正方形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$上， $\mathit{GE}\perp \mathit{BC}$，垂足为点 $E$， $\mathit{GF}\perp \mathit{CD}$，垂足为点 $F$．

（1）证明与推断：

①求证：四边形 $\mathit{CEGF}$是正方形；

②推断： $\frac{\mathit{AG}}{\mathit{BE}}$的值为　     　

（2）探究与证明：

将正方形 $\mathit{CEGF}$绕点 $C$顺时针方向旋转 $\alpha$角 $(0°<\alpha <45°)$，如图（2）所示，试探究线段 $\mathit{AG}$与 $\mathit{BE}$之间的数量关系，并说明理由；

（3）拓展与运用：

正方形 $\mathit{CEGF}$在旋转过程中，当 $B$， $E$， $F$三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长 $\mathit{CG}$交 $\mathit{AD}$于点 $H$．若 $\mathit{AG}=6$， $\mathit{GH}=2\sqrt{2}$，则 $\mathit{BC}=$　    　．

已知：如图所示，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{OB}=25$， $\mathit{OC}=20$，若点 $M$是边 $\mathit{OC}$上的一个动点（与点 $O$、 $C$不重合），过点 $M$作 $\mathit{MN}//\mathit{OB}$交 $\mathit{BC}$于点 $N$．

（1）求点 $C$的坐标；

（2）当 $\mathit{\Delta MCN}$的周长与四边形 $\mathit{OMNB}$的周长相等时，求 $\mathit{CM}$的长；

（3）在 $\mathit{OB}$上是否存在点 $Q$，使得 $\mathit{\Delta MNQ}$为等腰直角三角形？若存在，请求出此时 $\mathit{MN}$的长；若不存在，请说明理由．

如图1，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{BC}=3$，动点 $P$从 $B$出发，以每秒1个单位的速度，沿射线 $\mathit{BC}$方向移动，作 $\mathit{\Delta PAB}$关于直线 $\mathit{PA}$的对称 $\mathit{\Delta PAB}\text{'}$，设点 $P$的运动时间为 $t\left(s\right)$．

（1）若 $\mathit{AB}=2\sqrt{3}$．

①如图2，当点 $B\text{'}$落在 $\mathit{AC}$上时，显然 $\mathit{\Delta PAB}\text{'}$是直角三角形，求此时 $t$的值；

②是否存在异于图2的时刻，使得 $\mathit{\Delta PCB}\text{'}$是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的 $t$的值？若不存在，请说明理由．

（2）当 $P$点不与 $C$点重合时，若直线 $\mathit{PB}\text{'}$与直线 $\mathit{CD}$相交于点 $M$，且当 $t<3$时存在某一时刻有结论 $\angle \mathit{PAM}=45°$成立，试探究：对于 $t>3$的任意时刻，结论“ $\angle \mathit{PAM}=45°$”是否总是成立？请说明理由．