初中数学四边形综合题试题

如图，在正方形 ABCD中， AB＝6， M是对角线 BD上的一个动点（0＜ DM＜ $\frac{1}{2}$BD），连接 AM，过点 M作 MN⊥ AM交 BC于点 N．

（1）如图①，求证： MA＝ MN；

（2）如图②，连接 AN， O为 AN的中点， MO的延长线交边 AB于点 P，当 $\frac{S_{△\mathit{AMN}}}{S_{△\mathit{BCD}}}=\frac{13}{18}$ 时，求 AN和 PM的长；

（3）如图③，过点 N作 NH⊥ BD于 H，当 AM＝2 $\mathrm{}\sqrt{5}$ 时，求△ HMN的面积．

爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线， $\mathit{AM}\perp \mathit{BN}$于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设 $\mathit{BC}＝a，\mathit{AC}＝b，\mathit{AB}＝c$．

【特例探究】

（1）如图1，当 $\mathit{tan}\angle \mathit{PAB}＝1$， $c=4\sqrt{2}$时，a＝　　，b＝　　；

如图2，当 $\angle \mathit{PAB}＝30°$， $c＝2$时，a＝　　，b＝　；

【归纳证明】

（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a²、b²、c²三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．

【拓展证明】

（3）如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且 $\mathit{AD}＝3\mathit{AE}，\mathit{BC}＝3\mathit{BF}$，连接AF、BE、CE，且 $\mathit{BE}\perp \mathit{CE}$于E，AF与BE相交点G， $\mathit{AD}=3\sqrt{5}$， $\mathit{AB}＝3$，求AF的长．

如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是　 ．

（1） $\mathit{EF}=\sqrt{2}\mathit{OE}$；（2） $S_{\mathit{四边形}\mathit{OEBF}}:S_{\mathit{正方形}\mathit{ABCD}}＝1:4$；（3） $\mathit{BE}+\mathit{BF}=\sqrt{2}\mathit{OA}$；（4）在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时， $\mathit{AE}=\frac{3}{4}$；（5） $\mathit{OG}•\mathit{BD}＝A{E}^2+C{F}^2$．

邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下的一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第 n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为 n阶准菱形，如图1，▱ ABCD中，若 AB＝1， BC＝2，则▱ ABCD为1阶准菱形．

（1）猜想与计算：

邻边长分别为3和5的平行四边形是 　　阶准菱形；已知▱ ABCD的邻边长分别为 a， b（ a＞ b），满足 a＝8 b+ r， b＝5 r，请写出▱ ABCD是 　　阶准菱形．

（2）操作与推理：

小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2，把▱ ABCD沿 BE折叠（点 E在 AD上），使点 A落在 BC边上的点 F处，得到四边形 ABFE．请证明四边形 ABFE是菱形．

如图， M、 N是正方形 ABCD的边 CD上的两个动点，满足 AM＝ BN，连接 AC交 BN于点 E，连接 DE交 AM于点 F，连接 CF，若正方形的边长为4，则线段 CF的最小值是 　．

如图①，正方形 ABCD中，点 O是对角线 AC的中点，点 P是线段 AO上（不与 A， O重合）的一个动点，过点 P作 PE⊥ PB且 PE交边 CD于点 E．

（1）求证： PB＝ PE．

（2）如图②，若正方形 ABCD的边长为2，过 E作 EF⊥ AC于点 F，在 P点运动的过程中， PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，请说明理由．

（3）如图③，用等式表示线段 PC， PA， CE之间的数量关系．

阅读下面材料：

在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？

小敏在思考问题是，有如下思路：连接AC．

结合小敏的思路作答

（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题方法解决以下问题：

（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC，BD．

①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；

②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．

如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形．

（Ⅰ）若△PCD是等腰三角形时，求AP的长；

（Ⅱ）若 $\mathit{AP}=\sqrt{2}$，求CF的长．

已知正方形，点在直线上．

（1）若是直线上一点，且，求证：；（请利用图1所给的图形加以证明）

（2）写出（1）中命题的逆命题，并画出一个图形说明该逆命题是假命题；

（3）若点在直线上，且平分，探索线段、、之间的数量关系，并说明理由．

已知四边形ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF＝60°．

（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；

（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE＝CF；

（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB＝15°时，求点F到BC的距离．

如图，在正方形ABCD中，点E（与点B、C不重合）是BC边上一点，将线段EA绕点E顺时针旋转90°到EF，过点F作BC的垂线交BC的延长线于点G，连接CF．

（1）求证：△ABE≌△EGF；

（2）若AB＝2，S_△ABE＝2S_△ECF，求BE．

如图（1），菱形ABCD对角线AC、BD的交点O是四边形EFGH对角线FH的中点，四个顶点A、B、C、D分别在四边形EFGH的边EF、FG、GH、HE上．

（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；

（2）如图（2）若四边形EFGH是矩形，当AC与FH重合时，已知，且菱形ABCD的面积是20，求矩形EFGH的长与宽．

如图，已知正方形ABCD边长为1，∠EAF＝45°，AE＝AF，则有下列结论：

①∠1＝∠2＝22.5°；

②点C到EF的距离是 $\sqrt{2}-1$；

③△ECF的周长为2；

④BE+DF＞EF．

其中正确的结论是　　．（写出所有正确结论的序号）

如图，矩形 的对角线 ， 相交于点 ， 关于 的对称图形为 ．

（1）求证：四边形 是菱形；

（2）连接 ，若 ， ．

①求 的值；

②若点 为线段 上一动点（不与点 重合），连接 ，一动点 从点 出发，以 的速度沿线段 匀速运动到点 ，再以 的速度沿线段 匀速运动到点 ，到达点 后停止运动，当点 沿上述路线运动到点 所需要的时间最短时，求 的长和点 走完全程所需的时间．

如图，平面直角坐标系中 是原点， 的顶点 ， 的坐标分别是 ， ，点 ， 把线段 三等分，延长 、 分别交 、 于点 ， ，连接 ．则下列结论：

① 是 的中点；② 与 相似；③四边形 的面积是 $\frac{20}{3}$ ；④ $\mathit{OD}=\frac{4\sqrt{5}}{3}$

其中正确的结论是 　　（填写所有正确结论的序号）．