初中数学四边形综合题试题

（1）证明推断：如图（1），在正方形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$， $Q$分别在边 $\mathit{BC}$， $\mathit{AB}$上， $\mathit{DQ}\perp \mathit{AE}$于点 $O$，点 $G$， $F$分别在边 $\mathit{CD}$， $\mathit{AB}$上， $\mathit{GF}\perp \mathit{AE}$．

①求证： $\mathit{DQ}=\mathit{AE}$；

②推断： $\frac{\mathit{GF}}{\mathit{AE}}$的值为　　；

（2）类比探究：如图（2），在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\frac{\mathit{BC}}{\mathit{AB}}=k(k$为常数）．将矩形 $\mathit{ABCD}$沿 $\mathit{GF}$折叠，使点 $A$落在 $\mathit{BC}$边上的点 $E$处，得到四边形 $\mathit{FEPG}$， $\mathit{EP}$交 $\mathit{CD}$于点 $H$，连接 $\mathit{AE}$交 $\mathit{GF}$于点 $O$．试探究 $\mathit{GF}$与 $\mathit{AE}$之间的数量关系，并说明理由；

（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接 $\mathit{CP}$，当 $k=\frac{2}{3}$时，若 $\tan \angle \mathit{CGP}=\frac{3}{4}$， $\mathit{GF}=2\sqrt{10}$，求 $\mathit{CP}$的长．

操作体验：如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$、 $F$分别在边 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BC}$上，将矩形 $\mathit{ABCD}$沿直线 $\mathit{EF}$折叠，使点 $D$恰好与点 $B$重合，点 $C$落在点 $C\text{'}$处．点 $P$为直线 $\mathit{EF}$上一动点（不与 $E$、 $F$重合），过点 $P$分别作直线 $\mathit{BE}$、 $\mathit{BF}$的垂线，垂足分别为点 $M$和 $N$，以 $\mathit{PM}$、 $\mathit{PN}$为邻边构造平行四边形 $\mathit{PMQN}$．

（1）如图1，求证： $\mathit{BE}=\mathit{BF}$；

（2）特例感知：如图2，若 $\mathit{DE}=5$， $\mathit{CF}=2$，当点 $P$在线段 $\mathit{EF}$上运动时，求平行四边形 $\mathit{PMQN}$的周长；

（3）类比探究：若 $\mathit{DE}=a$， $\mathit{CF}=b$．

①如图3，当点 $P$在线段 $\mathit{EF}$的延长线上运动时，试用含 $a$、 $b$的式子表示 $\mathit{QM}$与 $\mathit{QN}$之间的数量关系，并证明；

②如图4，当点 $P$在线段 $\mathit{FE}$的延长线上运动时，请直接用含 $a$、 $b$的式子表示 $\mathit{QM}$与 $\mathit{QN}$之间的数量关系．（不要求写证明过程）

如图1，正方形 $\mathit{ABDE}$和 $\mathit{BCFG}$的边 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$在同一条直线上，且 $\mathit{AB}=2\mathit{BC}$，取 $\mathit{EF}$的中点 $M$，连接 $\mathit{MD}$， $\mathit{MG}$， $\mathit{MB}$．

（1）试证明 $\mathit{DM}\perp \mathit{MG}$，并求 $\frac{\mathit{MB}}{\mathit{MG}}$的值．

（2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，设 $\angle \mathit{EAB}=2\alpha (0<\alpha <90°)$，其它条件不变，问（1）中 $\frac{\mathit{MB}}{\mathit{MG}}$的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含 $\alpha$的式子表示）；若无变化，说明理由．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=10\mathit{cm}$， $E$为对角线 $\mathit{BD}$上一动点，连接 $\mathit{AE}$， $\mathit{CE}$，过 $E$点作 $\mathit{EF}\perp \mathit{AE}$，交直线 $\mathit{BC}$于点 $F$． $E$点从 $B$点出发，沿着 $\mathit{BD}$方向以每秒 $2\mathit{cm}$的速度运动，当点 $E$与点 $D$重合时，运动停止．设 $\mathit{\Delta BEF}$的面积为 $\mathit{yc}{m}^2$， $E$点的运动时间为 $x$秒．

（1）求证： $\mathit{CE}=\mathit{EF}$；

（2）求 $y$与 $x$之间关系的函数表达式，并写出自变量 $x$的取值范围；

（3）求 $\mathit{\Delta BEF}$面积的最大值．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$ 中， $E$ 、 $F$ 分别是 $\mathit{BC}$ 、 $\mathit{CD}$ 上的点，且 $\angle \mathit{EAF}=45°$ ， $\mathit{AE}$ 、 $\mathit{AF}$ 分别交 $\mathit{BD}$ 于 $M$ 、 $N$ ，连接 $\mathit{EN}$ 、 $\mathit{EF}$ ，有以下结论：

① $\mathit{AN}=\mathit{EN}$

②当 $\mathit{AE}=\mathit{AF}$ 时， $\frac{\mathit{BE}}{\mathit{EC}}=2-\sqrt{2}$

③ $\mathit{BE}+\mathit{DF}=\mathit{EF}$

④存在点 $E$ 、 $F$ ，使得 $\mathit{NF}>\mathit{DF}$

其中正确的个数是 $($ 　　 $)$

A．

1

B．

2

C．

3

D．

4

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$ ，点 $F$ 在边 $\mathit{AB}$ 上，且 $\mathit{AF}:\mathit{FB}=1:2$ ， $\mathit{CE}\perp \mathit{DF}$ ，垂足为 $M$ ，且交 $\mathit{AD}$ 于点 $E$ ， $\mathit{AC}$ 与 $\mathit{DF}$ 交于点 $N$ ，延长 $\mathit{CB}$ 至 $G$ ，使 $\mathit{BG}=\frac{1}{2}\mathit{BC}$ ，连接 $\mathit{GM}$ ．有如下结论：① $\mathit{DE}=\mathit{AF}$ ；② $\mathit{AN}=\frac{\sqrt{2}}{4}\mathit{AB}$ ；③ $\angle \mathit{ADF}=\angle \mathit{GMF}$ ；④ $S_{\mathit{\Delta ANF}}:S_{\mathit{四边形}\mathit{CNFB}}=1:8$ ．上述结论中，所有正确结论的序号是 $($ 　　 $)$

A．

①②

B．

①③

C．

①②③

D．

②③④

在矩形 $\mathit{ABCD}$中，连结 $\mathit{AC}$，点 $E$从点 $B$出发，以每秒1个单位的速度沿着 $B\to A\to C$的路径运动，运动时间为 $t$（秒 $)$．过点 $E$作 $\mathit{EF}\perp \mathit{BC}$于点 $F$，在矩形 $\mathit{ABCD}$的内部作正方形 $\mathit{EFGH}$．

（1）如图，当 $\mathit{AB}=\mathit{BC}=8$时，

①若点 $H$在 $\mathit{\Delta ABC}$的内部，连结 $\mathit{AH}$、 $\mathit{CH}$，求证： $\mathit{AH}=\mathit{CH}$；

②当 $0<t⩽8$时，设正方形 $\mathit{EFGH}$与 $\mathit{\Delta ABC}$的重叠部分面积为 $S$，求 $S$与 $t$的函数关系式；

（2）当 $\mathit{AB}=6$， $\mathit{BC}=8$时，若直线 $\mathit{AH}$将矩形 $\mathit{ABCD}$的面积分成 $1:3$两部分，求 $t$的值．

如图，矩形硬纸片 $\mathit{ABCD}$的顶点 $A$在 $y$轴的正半轴及原点上滑动，顶点 $B$在 $x$轴的正半轴及原点上滑动，点 $E$为 $\mathit{AB}$的中点， $\mathit{AB}=24$， $\mathit{BC}=5$．给出下列结论：①点 $A$从点 $O$出发，到点 $B$运动至点 $O$为止，点 $E$经过的路径长为 $12\pi$；② $\mathit{\Delta OAB}$的面积最大值为144；③当 $\mathit{OD}$最大时，点 $D$的坐标为 $(\frac{25\sqrt{26}}{26}$， $\frac{125\sqrt{26}}{26})$．其中正确的结论是　　．（填写序号）

如图1，在正方形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AE}$平分 $\angle \mathit{CAB}$，交 $\mathit{BC}$于点 $E$，过点 $C$作 $\mathit{CF}\perp \mathit{AE}$，交 $\mathit{AE}$的延长线于点 $G$，交 $\mathit{AB}$的延长线于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{BE}=\mathit{BF}$；

（2）如图2，连接 $\mathit{BG}$、 $\mathit{BD}$，求证： $\mathit{BG}$平分 $\angle \mathit{DBF}$；

（3）如图3，连接 $\mathit{DG}$交 $\mathit{AC}$于点 $M$，求 $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{DM}}$的值．

箭头四角形

模型规律

如图1，延长 $\mathit{CO}$交 $\mathit{AB}$于点 $D$，则 $\angle \mathit{BOC}=\angle 1+\angle B=\angle A+\angle C+\angle B$．

因为凹四边形 $\mathit{ABOC}$形似箭头，其四角具有“ $\angle \mathit{BOC}=\angle A+\angle B+\angle C$”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．

模型应用

（1）直接应用：①如图2， $\angle A+\angle B+\angle C+\angle D+\angle E+\angle F=$　 $2\alpha$　．

②如图3， $\angle \mathit{ABE}$、 $\angle \mathit{ACE}$的2等分线（即角平分线） $\mathit{BF}$、 $\mathit{CF}$交于点 $F$，已知 $\angle \mathit{BEC}=120°$， $\angle \mathit{BAC}=50°$，则 $\angle \mathit{BFC}=$　　．

③如图4， $B{O}_i$、 $C{O}_i$分别为 $\angle \mathit{ABO}$、 $\angle \mathit{ACO}$的2019等分线 $(i=1$，2，3， $\dots$，2017， $2018)$．它们的交点从上到下依次为 $O_1$、 $O_2$、 $O_3$、 $\dots$、 $O_{2018}$．已知 $\angle \mathit{BOC}=m°$， $\angle \mathit{BAC}=n°$，则 $\angle B{O}_{1000}C=$　　度．

（2）拓展应用：如图5，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{BC}=\mathit{CD}$， $\angle \mathit{BCD}=2\angle \mathit{BAD}$． $O$是四边形 $\mathit{ABCD}$内一点，且 $\mathit{OA}=\mathit{OB}=\mathit{OD}$．求证：四边形 $\mathit{OBCD}$是菱形．

我们知道，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．对一个各条边都相等的凸多边形（边数大于 $3)$，可以由若干条对角线相等判定它是正多边形．例如，各条边都相等的凸四边形，若两条对角线相等，则这个四边形是正方形．

（1）已知凸五边形 $\mathit{ABCDE}$的各条边都相等．

①如图1，若 $\mathit{AC}=\mathit{AD}=\mathit{BE}=\mathit{BD}=\mathit{CE}$，求证：五边形 $\mathit{ABCDE}$是正五边形；

②如图2，若 $\mathit{AC}=\mathit{BE}=\mathit{CE}$，请判断五边形 $\mathit{ABCDE}$是不是正五边形，并说明理由：

（2）判断下列命题的真假．（在括号内填写“真”或“假” $)$

如图3，已知凸六边形 $\mathit{ABCDEF}$的各条边都相等．

①若 $\mathit{AC}=\mathit{CE}=\mathit{EA}$，则六边形 $\mathit{ABCDEF}$是正六边形； $($　　 $)$

②若 $\mathit{AD}=\mathit{BE}=\mathit{CF}$，则六边形 $\mathit{ABCDEF}$是正六边形． $($　　 $)$

定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．

（1）如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{AD}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的角平分线， $E$， $F$分别是 $\mathit{BD}$， $\mathit{AD}$上的点．

求证：四边形 $\mathit{ABEF}$是邻余四边形．

（2）如图2，在 $5\times 4$的方格纸中， $A$， $B$在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形 $\mathit{ABEF}$，使 $\mathit{AB}$是邻余线， $E$， $F$在格点上．

（3）如图3，在（1）的条件下，取 $\mathit{EF}$中点 $M$，连结 $\mathit{DM}$并延长交 $\mathit{AB}$于点 $Q$，延长 $\mathit{EF}$交 $\mathit{AC}$于点 $N$．若 $N$为 $\mathit{AC}$的中点， $\mathit{DE}=2\mathit{BE}$， $\mathit{QB}=3$，求邻余线 $\mathit{AB}$的长．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}=4$，点 $E$是对角线 $\mathit{AC}$上一点，连接 $\mathit{DE}$，过点 $E$作 $\mathit{EF}\perp \mathit{ED}$，交 $\mathit{AB}$于点 $F$，连接 $\mathit{DF}$，交 $\mathit{AC}$于点 $G$，将 $\mathit{\Delta EFG}$沿 $\mathit{EF}$翻折，得到 $\mathit{\Delta EFM}$，连接 $\mathit{DM}$，交 $\mathit{EF}$于点 $N$，若点 $F$是 $\mathit{AB}$边的中点，则 $\mathit{\Delta EMN}$的周长是　　．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$ 中，连接 $\mathit{AC}$ ，以点 $A$ 为圆心，适当长为半径画弧，交 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{AC}$ 于点 $M$ ， $N$ ，分别以 $M$ ， $N$ 为圆心，大于 $\mathit{MN}$ 长的一半为半径画弧，两弧交于点 $H$ ，连结 $\mathit{AH}$ 并延长交 $\mathit{BC}$ 于点 $E$ ，再分别以 $A$ 、 $E$ 为圆心，以大于 $\mathit{AE}$ 长的一半为半径画弧，两弧交于点 $P$ ， $Q$ ，作直线 $\mathit{PQ}$ ，分别交 $\mathit{CD}$ ， $\mathit{AC}$ ， $\mathit{AB}$ 于点 $F$ ， $G$ ， $L$ ，交 $\mathit{CB}$ 的延长线于点 $K$ ，连接 $\mathit{GE}$ ，下列结论：① $\angle \mathit{LKB}=22.5°$ ，② $\mathit{GE}//\mathit{AB}$ ，③ $\tan \angle \mathit{CGF}=\frac{\mathit{KB}}{\mathit{LB}}$ ，④ $S_{\mathit{\Delta CGE}}:S_{\mathit{\Delta CAB}}=1:4$ ．其中正确的是 $($ 　　 $)$

A．

①②③

B．

②③④

C．

①③④

D．

①②④

在平面直角坐标系中， $O$为原点，点 $A(6,0)$，点 $B$在 $y$轴的正半轴上， $\angle \mathit{ABO}=30°$．矩形 $\mathit{CODE}$的顶点 $D$， $E$， $C$分别在 $\mathit{OA}$， $\mathit{AB}$， $\mathit{OB}$上， $\mathit{OD}=2$．

（Ⅰ）如图①，求点 $E$的坐标；

（Ⅱ）将矩形 $\mathit{CODE}$沿 $x$轴向右平移，得到矩形 $C\text{'}O\text{'}D\text{'}E\text{'}$，点 $C$， $O$， $D$， $E$的对应点分别为 $C\text{'}$， $O\text{'}$， $D\text{'}$， $E\text{'}$．设 $\mathit{OO}\text{'}=t$，矩形 $C\text{'}O\text{'}D\text{'}E\text{'}$与 $\mathit{\Delta ABO}$重叠部分的面积为 $S$．

①如图②，当矩形 $C\text{'}O\text{'}D\text{'}E\text{'}$与 $\mathit{\Delta ABO}$重叠部分为五边形时， $C\text{'}E\text{'}$， $E\text{'}D\text{'}$分别与 $\mathit{AB}$相交于点 $M$， $F$，试用含有 $t$的式子表示 $S$，并直接写出 $t$的取值范围；

②当 $\sqrt{3}⩽S⩽5\sqrt{3}$时，求 $t$的取值范围（直接写出结果即可）．