初中数学四边形综合题试题

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，矩形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=6$．若不改变矩形 $\mathit{ABCD}$的形状和大小，当矩形顶点 $A$在 $x$轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点 $D$始终在 $y$轴的正半轴上随之上下移动．

（1）当 $\angle \mathit{OAD}=30°$时，求点 $C$的坐标；

（2）设 $\mathit{AD}$的中点为 $M$，连接 $\mathit{OM}$、 $\mathit{MC}$，当四边形 $\mathit{OMCD}$的面积为 $\frac{21}{2}$时，求 $\mathit{OA}$的长；

（3）当点 $A$移动到某一位置时，点 $C$到点 $O$的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时 $\cos \angle \mathit{OAD}$的值．

如图一，在射线 $\mathit{DE}$的一侧以 $\mathit{AD}$为一条边作矩形 $\mathit{ABCD}$， $\mathit{AD}=5\sqrt{3}$， $\mathit{CD}=5$，点 $M$是线段 $\mathit{AC}$上一动点（不与点 $A$重合），连结 $\mathit{BM}$，过点 $M$作 $\mathit{BM}$的垂线交射线 $\mathit{DE}$于点 $N$，连接 $\mathit{BN}$．

（1）求 $\angle \mathit{CAD}$的大小；

（2）问题探究：动点 $M$在运动的过程中，

①是否能使 $\mathit{\Delta AMN}$为等腰三角形，如果能，求出线段 $\mathit{MC}$的长度；如果不能，请说明理由．

② $\angle \mathit{MBN}$的大小是否改变？若不改变，请求出 $\angle \mathit{MBN}$的大小；若改变，请说明理由．

（3）问题解决：

如图二，当动点 $M$运动到 $\mathit{AC}$的中点时， $\mathit{AM}$与 $\mathit{BN}$的交点为 $F$， $\mathit{MN}$的中点为 $H$，求线段 $\mathit{FH}$的长度．

如图，在等边 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=6\mathit{cm}$，动点 $P$从点 $A$出发以 $1\mathit{cm}/s$的速度沿 $\mathit{AB}$匀速运动．动点 $Q$同时从点 $C$出发以同样的速度沿 $\mathit{BC}$的延长线方向匀速运动，当点 $P$到达点 $B$时，点 $P$、 $Q$同时停止运动．设运动时间为 $t\left(s\right)$．过点 $P$作 $\mathit{PE}\perp \mathit{AC}$于 $E$，连接 $\mathit{PQ}$交 $\mathit{AC}$边于 $D$．以 $\mathit{CQ}$、 $\mathit{CE}$为边作平行四边形 $\mathit{CQFE}$．

（1）当 $t$为何值时， $\mathit{\Delta BPQ}$为直角三角形；

（2）是否存在某一时刻 $t$，使点 $F$在 $\angle \mathit{ABC}$的平分线上？若存在，求出 $t$的值，若不存在，请说明理由；

（3）求 $\mathit{DE}$的长；

（4）取线段 $\mathit{BC}$的中点 $M$，连接 $\mathit{PM}$，将 $\mathit{\Delta BPM}$沿直线 $\mathit{PM}$翻折，得△ $B\text{'}\mathit{PM}$，连接 $\mathit{AB}\text{'}$，当 $t$为何值时， $A{B}^{\text{'}}$的值最小？并求出最小值．

已知：如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}//\mathit{CD}$， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AB}=10\mathit{cm}$， $\mathit{BC}=8\mathit{cm}$， $\mathit{OD}$垂直平分 $A$ $C$．点 $P$从点 $B$出发，沿 $\mathit{BA}$方向匀速运动，速度为 $1\mathit{cm}/s$；同时，点 $Q$从点 $D$出发，沿 $\mathit{DC}$方向匀速运动，速度为 $1\mathit{cm}/s$；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点 $P$作 $\mathit{PE}\perp \mathit{AB}$，交 $\mathit{BC}$于点 $E$，过点 $Q$作 $\mathit{QF}//\mathit{AC}$，分别交 $\mathit{AD}$， $\mathit{OD}$于点 $F$， $G$．连接 $\mathit{OP}$， $\mathit{EG}$．设运动时间为 $t\left(s\right)(0<t<5)$，解答下列问题：

（1）当 $t$为何值时，点 $E$在 $\angle \mathit{BAC}$的平分线上？

（2）设四边形 $\mathit{PEGO}$的面积为 $S\left(c{m}^2\right)$，求 $S$与 $t$的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 $t$，使四边形 $\mathit{PEGO}$的面积最大？若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由；

（4）连接 $\mathit{OE}$， $\mathit{OQ}$，在运动过程中，是否存在某一时刻 $t$，使 $\mathit{OE}\perp \mathit{OQ}$？若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由．

如图1，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=8$， $\mathit{AD}=10$， $E$是 $\mathit{CD}$边上一点，连接 $\mathit{AE}$，将矩形 $\mathit{ABCD}$沿 $\mathit{AE}$折叠，顶点 $D$恰好落在 $\mathit{BC}$边上点 $F$处，延长 $\mathit{AE}$交 $\mathit{BC}$的延长线于点 $G$．

（1）求线段 $\mathit{CE}$的长；

（2）如图2， $M$， $N$分别是线段 $\mathit{AG}$， $\mathit{DG}$上的动点（与端点不重合），且 $\angle \mathit{DMN}=\angle \mathit{DAM}$，设 $\mathit{AM}=x$， $\mathit{DN}=y$．

①写出 $y$关于 $x$的函数解析式，并求出 $y$的最小值；

②是否存在这样的点 $M$，使 $\mathit{\Delta DMN}$是等腰三角形？若存在，请求出 $x$的值；若不存在，请说明理由．

如图，在以点 $O$为中心的正方形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}=4$，连接 $\mathit{AC}$，动点 $E$从点 $O$出发沿 $O\to C$以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点 $C$停止．在运动过程中， $\mathit{\Delta ADE}$的外接圆交 $\mathit{AB}$于点 $F$，连接 $\mathit{DF}$交 $\mathit{AC}$于点 $G$，连接 $\mathit{EF}$，将 $\mathit{\Delta EFG}$沿 $\mathit{EF}$翻折，得到 $\mathit{\Delta EFH}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta DEF}$是等腰直角三角形；

（2）当点 $H$恰好落在线段 $\mathit{BC}$上时，求 $\mathit{EH}$的长；

（3）设点 $E$运动的时间为 $t$秒， $\mathit{\Delta EFG}$的面积为 $S$，求 $S$关于时间 $t$的关系式．

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$是 $\mathit{CD}$的中点，点 $F$是 $\mathit{BC}$边上的点， $\mathit{AF}=\mathit{AD}+\mathit{FC}$，平行四边形 $\mathit{ABCD}$的面积为 $S$，由 $A$、 $E$、 $F$三点确定的圆的周长为 $l$．

（1）若 $\mathit{\Delta ABE}$的面积为30，直接写出 $S$的值；

（2）求证： $\mathit{AE}$平分 $\angle \mathit{DAF}$；

（3）若 $\mathit{AE}=\mathit{BE}$， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{AD}=5$，求 $l$的值．

如图所示，梯形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}//\mathit{DC}$ ， $\angle B=90°$ ， $\mathit{AD}=15$ ， $\mathit{AB}=16$ ， $\mathit{BC}=12$ ，点 $E$ 是边 $\mathit{AB}$ 上的动点，点 $F$ 是射线 $\mathit{CD}$ 上一点，射线 $\mathit{ED}$ 和射线 $\mathit{AF}$ 交于点 $G$ ，且 $\angle \mathit{AGE}=\angle \mathit{DAB}$ ．

（1）求线段 $\mathit{CD}$ 的长；

（2）如果 $\mathit{\Delta AEG}$ 是以 $\mathit{EG}$ 为腰的等腰三角形，求线段 $\mathit{AE}$ 的长；

（3）如果点 $F$ 在边 $\mathit{CD}$ 上（不与点 $C$ 、 $D$ 重合），设 $\mathit{AE}=x$ ， $\mathit{DF}=y$ ，求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出 $x$ 的取值范围．

问题提出：

（1）如图1，已知 $\mathit{\Delta ABC}$，试确定一点 $D$，使得以 $A$， $B$， $C$， $D$为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；

问题探究：

（2）如图2，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=10$，若要在该矩形中作出一个面积最大的 $\mathit{\Delta BPC}$，且使 $\angle \mathit{BPC}=90°$，求满足条件的点 $P$到点 $A$的距离；

问题解决：

（3）如图3，有一座塔 $A$，按规定，要以塔 $A$为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区 $\mathit{BCDE}$．根据实际情况，要求顶点 $B$是定点，点 $B$到塔 $A$的距离为50米， $\angle \mathit{CBE}=120°$，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区 $\mathit{BCDE}$？若可以，求出满足要求的平行四边形 $\mathit{BCDE}$的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔 $A$的占地面积忽略不计）

问题提出

（1）如图①，已知直线 $l$及 $l$外一点 $A$，试在直线 $l$上确定 $B$、 $C$两点，使 $\angle \mathit{BAC}=90°$，并画出这个 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$．

问题探究

（2）如图②， $O$是边长为28的正方形 $\mathit{ABCD}$的对称中心， $M$是 $\mathit{BC}$边上的中点，连接 $\mathit{OM}$．试在正方形 $\mathit{ABCD}$的边上确定点 $N$，使线段 $\mathit{ON}$和 $\mathit{OM}$将正方形 $\mathit{ABCD}$分割成面积之比为 $1:6$的两部分．求点 $N$到点 $M$的距离．

问题解决

（3）如图③，有一个矩形花园 $\mathit{ABCD}$， $\mathit{AB}=30m$， $\mathit{BC}=40m$．根据设计要求，点 $E$、 $F$在对角线 $\mathit{BD}$上，且 $\angle \mathit{EAF}=60°$，并在四边形区域 $\mathit{AECF}$内种植一种红色花卉，在矩形内其他区域均种植一种黄色花卉．已知种植这种红色花卉每平方米需210元，种植这种黄色花卉每平方米需180元．试求按设计要求，完成这两种花卉的种植至少需费用多少元？（结果保留整数．参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.4$， $\sqrt{3}\approx 1.7)$

问题提出

（1）如图①，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{BC}=6$ ， $D$ 为 $\mathit{BC}$ 上一点， $\mathit{AD}=4$ ，则 $\mathit{\Delta ABC}$ 面积的最大值是 　　．

问题探究

（2）如图②，已知矩形 $\mathit{ABCD}$ 的周长为12，求矩形 $\mathit{ABCD}$ 面积的最大值．

问题解决

（3）如图③， $\mathit{\Delta ABC}$ 是葛叔叔家的菜地示意图，其中 $\mathit{AB}=30$ 米， $\mathit{BC}=40$ 米， $\mathit{AC}=50$ 米，现在他想利用周边地的情况，把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大、周长尽可能长的四边形地，用来建鱼塘．已知葛叔叔欲建的鱼塘是四边形 $\mathit{ABCD}$ ，且满足 $\angle \mathit{ADC}=60°$ ．你认为葛叔叔的想法能否实现？若能，求出这个四边形鱼塘周长的最大值；若不能，请说明理由．

我们定义：如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$中，把 $\mathit{AB}$绕点 $A$顺时针旋转 $\alpha (0°<\alpha <180°)$得到 $A{B}^{\text{'}}$，把 $\mathit{AC}$绕点 $A$逆时针旋转 $\beta$得到 $A{C}^{\text{'}}$，连接 $B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$．当 $\alpha +\beta =180°$时，我们称△ $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的“旋补三角形”，△ $A{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$边 $B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$上的中线 $\mathit{AD}$叫做 $\mathit{\Delta ABC}$的“旋补中线”，点 $A$叫做“旋补中心”．

特例感知：

（1）在图2，图3中，△ $A{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的“旋补三角形”， $\mathit{AD}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的“旋补中线”．

①如图2，当 $\mathit{\Delta ABC}$为等边三角形时， $\mathit{AD}$与 $\mathit{BC}$的数量关系为 $\mathit{AD}=$　　 $\mathit{BC}$；

②如图3，当 $\angle \mathit{BAC}=90°$， $\mathit{BC}=8$时，则 $\mathit{AD}$长为　　．

猜想论证：

（2）在图1中，当 $\mathit{\Delta ABC}$为任意三角形时，猜想 $\mathit{AD}$与 $\mathit{BC}$的数量关系，并给予证明．

拓展应用

（3）如图4，在四边形 $\mathit{ABCD}$， $\angle C=90°$， $\angle D=150°$， $\mathit{BC}=12$， $\mathit{CD}=2\sqrt{3}$， $\mathit{DA}=6$．在四边形内部是否存在点 $P$，使 $\mathit{\Delta PDC}$是 $\mathit{\Delta PAB}$的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求 $\mathit{\Delta PAB}$的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．

如图1，在，将一块与全等的三角板的直角顶点放在点C上，一直角边与BC重叠。
（1）操作1：固定，将三角板沿方向平移，使其直角顶点落在BC的中点M，如图2所示，探究：三角板沿方向平移的距离为___________；
（2）操作2：在（1）的情况下，将三角板BC的中点M顺时针方向旋转角度，如图3所示，探究：设三角形板两直角边分别与AB、AC交于点P、Q，观察四边形MPAQ形状的变化，问：四边形MPAQ的面积S是否改变，若不变，求其面积；若改变，试说明理由；