初中数学四边形综合题试题

如图，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴的正半轴上，点B的坐标为（ $4\sqrt{3},4$），点D在CB上，且CD：DB＝2：1，OB交AD于点E．平行于x轴的直线l从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴向上平移，到C点时停止；l与线段OB，AD分别相交与M，N两点，以MN为边作等边△MNP（点P在线段MN的下方）．设直线l的运动时间为t（秒），△MNP与△OAB重叠部分的面积为S（平分单位）．

（1）直接写出点E的坐标；

（2）求S与t的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使得 $S=\frac{1}{2}{S}_{\mathit{\Delta ABD}}$成立？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

如图1，在△ ABC中，∠ ACB＝90°，∠ B＝30°， AC＝4， D是 AB的中点， EF是△ ACD的中位线，矩形 EFGH的顶点都在△ ACD的边上．

（1）求线段 EF、 FG的长；

（2）如图2，将矩形 EFGH沿 AB向右平移，点 F落在 BC上时停止移动，设矩形移动的距离为 x，矩形与△ CBD重叠部分的面积为 S，求出 S关于 x的函数解析式；

（3）如图3，矩形 EFGH平移停止后，再绕点 G按顺时针方向旋转，当点 H落在 CD边上时停止旋转，此时矩形记作 E ₁ F ₁ GH ₁，设旋转角为α，求cosα的值．

现有正方形ABCD和一个以O为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板两直角边所在直线分别与直线BC、CD交于点M、N．

（1）如图1，若点O与点A重合，则OM与ON的数量关系是 ；

（2）如图2，若点O在正方形的中心（即两对角线交点），则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；

（3）如图3，若点O在正方形的内部（含边界），当OM=ON时，请探究点O在移动过程中可形成什么图形？

（4）如图4，是点O在正方形外部的一种情况．当OM=ON时，请你就“点O的位置在各种情况下（含外部）移动所形成的图形”提出一个正确的结论．（不必说明）

如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，点M为AB上的一动点，将矩形ABCD沿某一直线对折，使点C与点M重合，该直线与AB（或BC）、CD（或DA）分别交于点P、Q

（1）用直尺和圆规在图甲中画出折痕所在直线（不要求写画法，但要求保留作图痕迹）

（2）如果PQ与AB、CD都相交，试判断△MPQ的形状并证明你的结论；

（3）设AM＝x，d为点M到直线PQ的距离，y＝d²，

①求y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；

②当直线PQ恰好通过点D时，求点M到直线PQ的距离．

如图1，在正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．

（1）如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．

①求证：△AGE≌△AFE；

②若BE＝2，DF＝3，求AH的长．

（2）如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由．

如图， BD是正方形 ABCD的对角线， BC＝2，边 BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为 PQ，连接 PA、 QD，并过点 Q作 QO⊥ BD，垂足为 O，连接 OA、 OP．

（1）请直接写出线段 BC在平移过程中，四边形 APQD是什么四边形？

（2）请判断 OA、 OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；

（3）在平移变换过程中，设 y＝ S _{△ OPB}， BP＝ x（0≤ x≤2），求 y与 x之间的函数关系式，并求出 y的最大值．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $P$ 为对角线 $\mathit{AC}$ 所在直线上的一个动点，连接 $\mathit{PD}$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PE}\perp \mathit{PD}$ ，交直线 $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{MN}\perp \mathit{AB}$ ，交直线 $\mathit{CD}$ 于点 $M$ ，交直线 $\mathit{AB}$ 于点 $N$ ． $\mathit{AB}=4\sqrt{3}$ ， $\mathit{AD}=4$ ．

（1）如图1，①当点 $P$ 在线段 $\mathit{AC}$ 上时， $\angle \mathit{PDM}$ 和 $\angle \mathit{EPN}$ 的数量关系为： $\angle \mathit{PDM}$　 $=$　 $\angle \mathit{EPN}$ ；

② $\frac{\mathit{DP}}{\mathit{PE}}$ 的值是 　　；

（2）如图2，当点 $P$ 在 $\mathit{CA}$ 延长线上时，（1）中的结论②是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由；

（3）如图3，以线段 $\mathit{PD}$ ， $\mathit{PE}$ 为邻边作矩形 $\mathit{PEFD}$ ．设 $\mathit{PM}$ 的长为 $x$ ，矩形 $\mathit{PEFD}$ 的面积为 $y$ ．请直接写出 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式及 $y$ 的最小值．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $P$ 为对角线 $\mathit{AC}$ 所在直线上的一个动点，连接 $\mathit{PD}$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PE}\perp \mathit{PD}$ ，交直线 $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{MN}\perp \mathit{AB}$ ，交直线 $\mathit{CD}$ 于点 $M$ ，交直线 $\mathit{AB}$ 于点 $N$ ． $\mathit{AB}=4\sqrt{3}$ ， $\mathit{AD}=4$ ．

（1）如图1，①当点 $P$ 在线段 $\mathit{AC}$ 上时， $\angle \mathit{PDM}$ 和 $\angle \mathit{EPN}$ 的数量关系为： $\angle \mathit{PDM}$ $\angle \mathit{EPN}$ ；

② $\frac{\mathit{DP}}{\mathit{PE}}$ 的值是 　　；

（2）如图2，当点 $P$ 在 $\mathit{CA}$ 延长线上时，（1）中的结论②是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由；

（3）如图3，以线段 $\mathit{PD}$ ， $\mathit{PE}$ 为邻边作矩形 $\mathit{PEFD}$ ．设 $\mathit{PM}$ 的长为 $x$ ，矩形 $\mathit{PEFD}$ 的面积为 $y$ ．请直接写出 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式及 $y$ 的最小值．

【了解概念】

有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．

【理解运用】

（1）如图①，对余四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=5$ ， $\mathit{BC}=6$ ， $\mathit{CD}=4$ ，连接 $\mathit{AC}$ ．若 $\mathit{AC}=\mathit{AB}$ ，求 $\sin \angle \mathit{CAD}$ 的值；

（2）如图②，凸四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AD}=\mathit{BD}$ ， $\mathit{AD}\perp \mathit{BD}$ ，当 $2C{D}^2+C{B}^2=C{A}^2$ 时，判断四边形 $\mathit{ABCD}$ 是否为对余四边形．证明你的结论；

【拓展提升】

（3）在平面直角坐标系中，点 $A(-1,0)$ ， $B(3,0)$ ， $C(1,2)$ ，四边形 $\mathit{ABCD}$ 是对余四边形，点 $E$ 在对余线 $\mathit{BD}$ 上，且位于 $\mathit{\Delta ABC}$ 内部， $\angle \mathit{AEC}=90°+\angle \mathit{ABC}$ ．设 $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{BE}}=u$ ，点 $D$ 的纵坐标为 $t$ ，请直接写出 $u$ 关于 $t$ 的函数解析式．

（1）如图1，点 $P$为矩形 $\mathit{ABCD}$对角线 $\mathit{BD}$上一点，过点 $P$作 $\mathit{EF}//\mathit{BC}$，分别交 $\mathit{AB}$、 $\mathit{CD}$于点 $E$、 $F$．若 $\mathit{BE}=2$， $\mathit{PF}=6$， $\mathit{\Delta AEP}$的面积为 $S_1$， $\mathit{\Delta CFP}$的面积为 $S_2$，则 $S_1+S_2=$　 　；

（2）如图2，点 $P$为 $▱\mathit{ABCD}$内一点（点 $P$不在 $\mathit{BD}$上），点 $E$、 $F$、 $G$、 $H$分别为各边的中点．设四边形 $\mathit{AEPH}$的面积为 $S_1$，四边形 $\mathit{PFCG}$的面积为 $S_2$（其中 $S_2>S_1)$，求 $\mathit{\Delta PBD}$的面积（用含 $S_1$、 $S_2$的代数式表示）；

（3）如图3，点 $P$为 $▱\mathit{ABCD}$内一点（点 $P$不在 $\mathit{BD}$上），过点 $P$作 $\mathit{EF}//\mathit{AD}$， $\mathit{HG}//\mathit{AB}$，与各边分别相交于点 $E$、 $F$、 $G$、 $H$．设四边形 $\mathit{AEPH}$的面积为 $S_1$，四边形 $\mathit{PGCF}$的面积为 $S_2$（其中 $S_2>S_1)$，求 $\mathit{\Delta PBD}$的面积（用含 $S_1$、 $S_2$的代数式表示）；

（4）如图4，点 $A$、 $B$、 $C$、 $D$把 $\odot O$四等分．请你在圆内选一点 $P$（点 $P$不在 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BD}$上），设 $\mathit{PB}$、 $\mathit{PC}$、 $\widehat{\mathit{BC}}$围成的封闭图形的面积为 $S_1$， $\mathit{PA}$、 $\mathit{PD}$、 $\widehat{\mathit{AD}}$围成的封闭图形的面积为 $S_2$， $\mathit{\Delta PBD}$的面积为 $S_3$， $\mathit{\Delta PAC}$的面积为 $S_4$，根据你选的点 $P$的位置，直接写出一个含有 $S_1$、 $S_2$、 $S_3$、 $S_4$的等式（写出一种情况即可）．

定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为"直角等邻对补"四边形，简称"直等补"四边形．

根据以上定义，解决下列问题：

（1）如图1，正方形 $\mathit{ABCD}$ 中， $E$ 是 $\mathit{CD}$ 上的点，将 $\mathit{\Delta BCE}$ 绕 $B$ 点旋转，使 $\mathit{BC}$ 与 $\mathit{BA}$ 重合，此时点 $E$ 的对应点 $F$ 在 $\mathit{DA}$ 的延长线上，则四边形 $\mathit{BEDF}$ 为"直等补"四边形，为什么？

（2）如图2，已知四边形 $\mathit{ABCD}$ 是"直等补"四边形， $\mathit{AB}=\mathit{BC}=5$ ， $\mathit{CD}=1$ ， $\mathit{AD}>\mathit{AB}$ ，点 $B$ 到直线 $\mathit{AD}$ 的距离为 $\mathit{BE}$ ．

①求 $\mathit{BE}$ 的长；

②若 $M$ 、 $N$ 分别是 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{AD}$ 边上的动点，求 $\mathit{\Delta MNC}$ 周长的最小值．

如图1，平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，等腰 $\mathit{\Delta ABC}$ 的底边 $\mathit{BC}$ 在 $x$ 轴上， $\mathit{BC}=8$ ，顶点 $A$ 在 $y$ 的正半轴上， $\mathit{OA}=2$ ，一动点 $E$ 从 $(3,0)$ 出发，以每秒1个单位的速度沿 $\mathit{CB}$ 向左运动，到达 $\mathit{OB}$ 的中点停止．另一动点 $F$ 从点 $C$ 出发，以相同的速度沿 $\mathit{CB}$ 向左运动，到达点 $O$ 停止．已知点 $E$ 、 $F$ 同时出发，以 $\mathit{EF}$ 为边作正方形 $\mathit{EFGH}$ ，使正方形 $\mathit{EFGH}$ 和 $\mathit{\Delta ABC}$ 在 $\mathit{BC}$ 的同侧，设运动的时间为 $t$ 秒 $(t⩾0)$ ．

（1）当点 $H$ 落在 $\mathit{AC}$ 边上时，求 $t$ 的值；

（2）设正方形 $\mathit{EFGH}$ 与 $\mathit{\Delta ABC}$ 重叠面积为 $S$ ，请问是否存在 $t$ 值，使得 $S=\frac{91}{36}$ ？若存在，求出 $t$ 值；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，取 $\mathit{AC}$ 的中点 $D$ ，连结 $\mathit{OD}$ ，当点 $E$ 、 $F$ 开始运动时，点 $M$ 从点 $O$ 出发，以每秒 $2\sqrt{5}$ 个单位的速度沿 $\mathit{OD}-\mathit{DC}-\mathit{CD}-\mathit{DO}$ 运动，到达点 $O$ 停止运动．请问在点 $E$ 的整个运动过程中，点 $M$ 可能在正方形 $\mathit{EFGH}$ 内（含边界）吗？如果可能，求出点 $M$ 在正方形 $\mathit{EFGH}$ 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是正方形，点 $O$为对角线 $\mathit{AC}$的中点．

（1）问题解决：如图①，连接 $\mathit{BO}$，分别取 $\mathit{CB}$， $\mathit{BO}$的中点 $P$， $Q$，连接 $\mathit{PQ}$，则 $\mathit{PQ}$与 $\mathit{BO}$的数量关系是　 　，位置关系是　　；

（2）问题探究：如图②，△ $A{O}^{\text{'}}E$是将图①中的 $\mathit{\Delta AOB}$绕点 $A$按顺时针方向旋转 $45°$得到的三角形，连接 $\mathit{CE}$，点 $P$， $Q$分别为 $\mathit{CE}$， $B{O}^{\text{'}}$的中点，连接 $\mathit{PQ}$， $\mathit{PB}$．判断 $\mathit{\Delta PQB}$的形状，并证明你的结论；

（3）拓展延伸：如图③，△ $A{O}^{\text{'}}E$是将图①中的 $\mathit{\Delta AOB}$绕点 $A$按逆时针方向旋转 $45°$得到的三角形，连接 $B{O}^{\text{'}}$，点 $P$， $Q$分别为 $\mathit{CE}$， $B{O}^{\text{'}}$的中点，连接 $\mathit{PQ}$， $\mathit{PB}$．若正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为1，求 $\mathit{\Delta PQB}$的面积．

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AB}$长是 $x^2-3x-18=0$的根，连接 $\mathit{BD}$， $\angle \mathit{DBC}=30°$，并过点 $C$作 $\mathit{CN}\perp \mathit{BD}$，垂足为 $N$，动点 $P$从 $B$点以每秒2个单位长度的速度沿 $\mathit{BD}$方向匀速运动到 $D$点为止；点 $M$沿线段 $\mathit{DA}$以每秒 $\sqrt{3}$个单位长度的速度由点 $D$向点 $A$匀速运动，到点 $A$为止，点 $P$与点 $M$同时出发，设运动时间为 $t$秒 $(t>0)$．

（1）线段 $\mathit{CN}=$　 $3\sqrt{3}$　；

（2）连接 $\mathit{PM}$和 $\mathit{MN}$，求 $\mathit{\Delta PMN}$的面积 $s$与运动时间 $t$的函数关系式；

（3）在整个运动过程中，当 $\mathit{\Delta PMN}$是以 $\mathit{PN}$为腰的等腰三角形时，直接写出点 $P$的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，四边形 $\mathit{OABC}$的边 $\mathit{OC}$在 $x$轴上， $\mathit{OA}$在 $y$轴上． $O$为坐标原点， $\mathit{AB}//\mathit{OC}$，线段 $\mathit{OA}$， $\mathit{AB}$的长分别是方程 $x^2-9x+20=0$的两个根 $(\mathit{OA}<\mathit{AB})$， $\tan \angle \mathit{OCB}=\frac{4}{3}$．

（1）求点 $B$， $C$的坐标；

（2） $P$为 $\mathit{OA}$上一点， $Q$为 $\mathit{OC}$上一点， $\mathit{OQ}=5$，将 $\mathit{\Delta POQ}$翻折，使点 $O$落在 $\mathit{AB}$上的点 $O\text{'}$处，双曲线 $y=\frac{k}{x}$的一个分支过点 $O\text{'}$．求 $k$的值；

（3）在（2）的条件下， $M$为坐标轴上一点，在平面内是否存在点 $N$，使以 $O\text{'}$， $Q$， $M$， $N$为顶点四边形为矩形？若存在，请直接写出点 $N$的坐标；若不存在，请说明理由．