初中数学圆周角定理解答题

如图，点 C为△ ABD的外接圆上的一动点（点 C不在 $\stackrel{̂}{\mathit{BAD}}$ 上，且不与点 B， D重合），∠ ACB＝∠ ABD＝45°

（1）求证： BD是该外接圆的直径；

（2）连结 CD，求证： $\sqrt{2}\mathit{AC}=\mathit{BC}+\mathit{CD}$ ；

（3）若△ ABC关于直线 AB的对称图形为△ ABM，连接 DM，试探究 DM ²， AM ²， BM ²三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．

如图1， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径，点 $E$ 是 $\odot O$ 上一动点，且不与 $A$ ， $B$ 两点重合， $\angle \mathit{EAB}$ 的平分线交 $\odot O$ 于点 $C$ ，过点 $C$ 作 $\mathit{CD}\perp \mathit{AE}$ ，交 $\mathit{AE}$ 的延长线于点 $D$ ．

（1）求证： $\mathit{CD}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）求证： $A{C}^2=2\mathit{AD}\cdot \mathit{AO}$ ；

（3）如图2，原有条件不变，连接 $\mathit{BE}$ ， $\mathit{BC}$ ，延长 $\mathit{AB}$ 至点 $M$ ， $\angle \mathit{EBM}$ 的平分线交 $\mathit{AC}$ 的延长线于点 $P$ ， $\angle \mathit{CAB}$ 的平分线交 $\angle \mathit{CBM}$ 的平分线于点 $Q$ ．求证：无论点 $E$ 如何运动，总有 $\angle P=\angle Q$ ．

如图1，的三个顶点、、分别落在抛物线的图象上，点的横坐标为，点的纵坐标为．（点在点的左侧）

（1）求点、的坐标；

（2）将绕点逆时针旋转得到△，抛物线经过、两点，已知点为抛物线的对称轴上一定点，且点恰好在以为直径的圆上，连接、，求△的面积；

（3）如图2，延长交抛物线于点，连接，在坐标轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与△相似．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图， $\mathit{AC}$ 是 $\odot O$ 的直径， $\mathit{BC}$ ， $\mathit{BD}$ 是 $\odot O$ 的弦， $M$ 为 $\mathit{BC}$ 的中点， $\mathit{OM}$ 与 $\mathit{BD}$ 交于点 $F$ ，过点 $D$ 作 $\mathit{DE}\perp \mathit{BC}$ ，交 $\mathit{BC}$ 的延长线于点 $E$ ，且 $\mathit{CD}$ 平分 $\angle \mathit{ACE}$ ．

（1）求证： $\mathit{DE}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）求证： $\angle \mathit{CDE}=\angle \mathit{DBE}$ ；

（3）若 $\mathit{DE}=6$ ， $\tan \angle \mathit{CDE}=\frac{2}{3}$ ，求 $\mathit{BF}$ 的长．

（1）方法选择

如图①，四边形是的内接四边形，连接，，．求证：．

小颖认为可用截长法证明：在上截取，连接

小军认为可用补短法证明：延长至点，使得

请你选择一种方法证明．

（2）类比探究

[探究1]

如图②，四边形是的内接四边形，连接，，是的直径，．试用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论．

[探究2]

如图③，四边形是的内接四边形，连接，．若是的直径，，则线段，，之间的等量关系式是　　．

（3）拓展猜想

如图④，四边形是的内接四边形，连接，．若是的直径，，则线段，，之间的等量关系式是　　．

如图， $\mathit{PA}$、 $\mathit{PB}$是 $\odot O$的切线， $A$、 $B$是切点， $\mathit{AC}$是 $\odot O$的直径，连接 $\mathit{OP}$，交 $\odot O$于点 $D$，交 $\mathit{AB}$于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{BC}//\mathit{OP}$；

（2）若 $E$恰好是 $\mathit{OD}$的中点，且四边形 $\mathit{OAPB}$的面积是 $16\sqrt{3}$，求阴影部分的面积；

（3）若 $\sin \angle \mathit{BAC}=\frac{1}{3}$，且 $\mathit{AD}=2\sqrt{3}$，求切线 $\mathit{PA}$的长．

如图，在以点为中心的正方形中，，连接，动点从点出发沿以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点停止．在运动过程中，的外接圆交于点，连接交于点，连接，将沿翻折，得到．

（1）求证：是等腰直角三角形；

（2）当点恰好落在线段上时，求的长；

（3）设点运动的时间为秒，的面积为，求关于时间的关系式．

如图， $\mathit{AB}$ 为 $\odot O$ 的直径， $C$ 为 $\odot O$ 上一点，连接 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BC}$ ， $D$ 为 $\mathit{AB}$ 延长线上一点，连接 $\mathit{CD}$ ，且 $\angle \mathit{BCD}=\angle A$ ．

（1）求证： $\mathit{CD}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\odot O$ 的半径为 $\sqrt{5}$ ， $\mathit{\Delta ABC}$ 的面积为 $2\sqrt{5}$ ，求 $\mathit{CD}$ 的长；

（3）在（2）的条件下， $E$ 为 $\odot O$ 上一点，连接 $\mathit{CE}$ 交线段 $\mathit{OA}$ 于点 $F$ ，若 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{CF}}=\frac{1}{2}$ ，求 $\mathit{BF}$ 的长．

已知是的直径，是的切线，是上的点，，是直径上的动点，与直线上的点连线距离的最小值为，与直线上的点连线距离的最小值为．

（1）求证：是的切线；

（2）设，求的正弦值；

（3）设，，求的取值范围．

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$ 内接于 $\odot O$ ， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径， $\angle \mathit{CAB}$ 的平分线交 $\mathit{BC}$ 于点 $D$ ，交 $\odot O$ 于点 $E$ ，连接 $\mathit{EB}$ ，作 $\angle \mathit{BEF}=\angle \mathit{CAE}$ ，交 $\mathit{AB}$ 的延长线于点 $F$ ．

（1）求证： $\mathit{EF}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\mathit{BF}=10$ ， $\mathit{EF}=20$ ，求 $\odot O$ 的半径和 $\mathit{AD}$ 的长．

在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $D$ 是边 $\mathit{BC}$ 上一动点，连接 $\mathit{AD}$ ，将 $\mathit{AD}$ 绕点 $A$ 逆时针旋转至 $\mathit{AE}$ 的位置，使得 $\angle \mathit{DAE}+\angle \mathit{BAC}=180°$ ．

（1）如图1，当 $\angle \mathit{BAC}=90°$ 时，连接 $\mathit{BE}$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $F$ ．若 $\mathit{BE}$ 平分 $\angle \mathit{ABC}$ ， $\mathit{BD}=2$ ，求 $\mathit{AF}$ 的长；

（2）如图2，连接 $\mathit{BE}$ ，取 $\mathit{BE}$ 的中点 $G$ ，连接 $\mathit{AG}$ ．猜想 $\mathit{AG}$ 与 $\mathit{CD}$ 存在的数量关系，并证明你的猜想；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接 $\mathit{DG}$ ， $\mathit{CE}$ ．若 $\angle \mathit{BAC}=120°$ ，当 $\mathit{BD}>\mathit{CD}$ ， $\angle \mathit{AEC}=150°$ 时，请直接写出 $\frac{\mathit{BD}-\mathit{DG}}{\mathit{CE}}$ 的值．

如图， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径，点 $C$ 是 $\odot O$ 上异于 $A$ 、 $B$ 的点，连接 $\mathit{AC}$ 、 $\mathit{BC}$ ，点 $D$ 在 $\mathit{BA}$ 的延长线上，且 $\angle \mathit{DCA}=\angle \mathit{ABC}$ ，点 $E$ 在 $\mathit{DC}$ 的延长线上，且 $\mathit{BE}\perp \mathit{DC}$ ．

（1）求证： $\mathit{DC}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\frac{\mathit{OA}}{\mathit{OD}}=\frac{2}{3}$ ， $\mathit{BE}=3$ ，求 $\mathit{DA}$ 的长．

如图， $\odot O$的半径为1，点 $A$是 $\odot O$的直径 $\mathit{BD}$延长线上的一点， $C$为 $\odot O$上的一点， $\mathit{AD}=\mathit{CD}$， $\angle A=30°$．

（1）求证：直线 $\mathit{AC}$是 $\odot O$的切线；

（2）求 $\mathit{\Delta ABC}$的面积；

（3）点 $E$在 $\stackrel{̂}{\mathit{BND}}$上运动（不与 $B$、 $D$重合），过点 $C$作 $\mathit{CE}$的垂线，与 $\mathit{EB}$的延长线交于点 $F$．

①当点 $E$运动到与点 $C$关于直径 $\mathit{BD}$对称时，求 $\mathit{CF}$的长；

②当点 $E$运动到什么位置时， $\mathit{CF}$取到最大值，并求出此时 $\mathit{CF}$的长．

如图，在锐角三角形 $\mathit{ABC}$中， $\mathit{AD}$是 $\mathit{BC}$边上的高，以 $\mathit{AD}$为直径的 $\odot O$交 $\mathit{AB}$于点 $E$，交 $\mathit{AC}$于点 $F$，过点 $F$作 $\mathit{FG}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $H$，交 $\stackrel{̂}{\mathit{AE}}$于点 $G$，交 $\mathit{AD}$于点 $M$，连接 $\mathit{AG}$， $\mathit{DE}$， $\mathit{DF}$．

（1）求证： $\angle \mathit{GAD}+\angle \mathit{EDF}=180°$；

（2）若 $\angle \mathit{ACB}=45°$， $\mathit{AD}=4$， $\tan \angle \mathit{ABC}=2$，求 $\mathit{HF}$的长．

如图1，直线 $l:y=-\frac{3}{4}x+b$与 $x$轴交于点 $A(4,0)$，与 $y$轴交于点 $B$，点 $C$是线段 $\mathit{OA}$上一动点 $(0<\mathit{AC}<\frac{16}{5})$．以点 $A$为圆心， $\mathit{AC}$长为半径作 $\odot A$交 $x$轴于另一点 $D$，交线段 $\mathit{AB}$于点 $E$，连接 $\mathit{OE}$并延长交 $\odot A$于点 $F$．

（1）求直线 $l$的函数表达式和 $\tan \angle \mathit{BAO}$的值；

（2）如图2，连接 $\mathit{CE}$，当 $\mathit{CE}=\mathit{EF}$时，

①求证： $\mathit{\Delta OCE}\backsim \mathit{\Delta OEA}$；

②求点 $E$的坐标；

（3）当点 $C$在线段 $\mathit{OA}$上运动时，求 $\mathit{OE}\cdot \mathit{EF}$的最大值．