如图1,的三个顶点、、分别落在抛物线的图象上,点的横坐标为,点的纵坐标为.(点在点的左侧)
(1)求点、的坐标;
(2)将绕点逆时针旋转得到△,抛物线经过、两点,已知点为抛物线的对称轴上一定点,且点恰好在以为直径的圆上,连接、,求△的面积;
(3)如图2,延长交抛物线于点,连接,在坐标轴上是否存在点,使得以、、为顶点的三角形与△相似.若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
在一次数学探究活动中,李老师设计了一份活动单:
已知线段 ,使用作图工具作 ,尝试操作后思考: (1)这样的点 唯一吗? (2)点 的位置有什么特征?你有什么感悟? |
“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报:点 的位置不唯一,它在以 为弦的圆弧上(点 、 除外), .小华同学画出了符合要求的一条圆弧(如图 .
(1)小华同学提出了下列问题,请你帮助解决.
①该弧所在圆的半径长为 ;
② 面积的最大值为 ;
(2)经过比对发现,小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上,而在如图1所示的弓形内部,我们记为 ,请你根据图1证明 .
(3)请你运用所学知识,结合以上活动经验,解决问题:如图2,已知矩形 的边长 , ,点 在直线 的左侧,且 .
①线段 长的最小值为 ;
②若 ,则线段 长为 .
如图,已知 内接于 ,点 在劣弧 上(不与点 , 重合),点 为弦 的中点, , 与 的延长线交于点 ,射线 与射线 交于点 ,与 交于点 ,设 , , ,
(1)点点同学通过画图和测量得到以下近似数据:
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猜想: 关于 的函数表达式, 关于 的函数表达式,并给出证明;
(2)若 , , 的面积为 的面积的4倍,求 半径的长.
如图1,直线 与 轴交于点 ,与 轴交于点 ,点 是线段 上一动点 .以点 为圆心, 长为半径作 交 轴于另一点 ,交线段 于点 ,连接 并延长交 于点 .
(1)求直线 的函数表达式和 的值;
(2)如图2,连接 ,当 时,
①求证: ;
②求点 的坐标;
(3)当点 在线段 上运动时,求 的最大值.
如图,顶点为的抛物线与轴交于,两点,与轴交于点,过点作轴交抛物线于另一点,作轴,垂足为点,双曲线经过点,连接,.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点,分别是轴,轴上的两点,当以,,,为顶点的四边形周长最小时,求出点,的坐标;
(3)动点从点出发,以每秒1个单位长度的速度沿方向运动,运动时间为秒,当为何值时,的度数最大?(请直接写出结果)
如图,已知 , 为 的两条直径,连接 , , 于点 ,点 是半径 的中点,连接 .
(1)设 的半径为1,若 ,求线段 的长.
(2)连接 , ,设 与 交于点 ,
①求证: .
②若 ,求 的度数.
如图, 是 的外接圆, 是 的直径, 于点 .
(1)求证: ;
(2)连接 并延长,交 于点 ,交 于点 ,连接 .若 的半径为5, ,求 和 的长.
问题提出
(1)如图1,在 中, , , 的平分线交 于点 .过点 分别作 , .垂足分别为 , ,则图1中与线段 相等的线段是 .
问题探究
(2)如图2, 是半圆 的直径, . 是 上一点,且 ,连接 , . 的平分线交 于点 ,过点 分别作 , ,垂足分别为 , ,求线段 的长.
问题解决
(3)如图3,是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图.已知 的直径 ,点 在 上,且 . 为 上一点,连接 并延长,交 于点 .连接 , .过点 分别作 , ,垂足分别为 , .按设计要求,四边形 内部为室内活动区,阴影部分是户外活动区,圆内其余部分为绿化区.设 的长为 ,阴影部分的面积为 .
①求 与 之间的函数关系式;
②按照“少儿活动中心”的设计要求,发现当 的长度为 时,整体布局比较合理.试求当 时.室内活动区(四边形 的面积.
如图,在锐角三角形 中, 是 边上的高,以 为直径的 交 于点 ,交 于点 ,过点 作 ,垂足为 ,交 于点 ,交 于点 ,连接 , , .
(1)求证: ;
(2)若 , , ,求 的长.
如图,在以点为中心的正方形中,,连接,动点从点出发沿以每秒1个单位长度的速度匀速运动,到达点停止.在运动过程中,的外接圆交于点,连接交于点,连接,将沿翻折,得到.
(1)求证:是等腰直角三角形;
(2)当点恰好落在线段上时,求的长;
(3)设点运动的时间为秒,的面积为,求关于时间的关系式.
如图,抛物线过点,且与直线交于、两点,点的坐标为.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点为抛物线上位于直线上方的一点,过点作轴交直线于点,点为对称轴上一动点,当线段的长度最大时,求的最小值;
(3)设点为抛物线的顶点,在轴上是否存在点,使?若存在,求点的坐标;若不存在,请说明理由.
如图,在 中, 为 的直径, 为 的弦,点 是 的中点,过点 作 的垂线,交 于点 ,交 于点 ,分别连接 , .
(1) 与 的数量关系是 ;
(2)求证: ;
(3)若 , ,求阴影部分图形的面积.
如图,在 中, ,点 在 边上,过 , , 三点的 交 边于另一点 ,且 是 的中点, 是 的一条直径,连接 并延长交 边于 点.
(1)求证:四边形 为平行四边形;
(2)当 时,求 的值.
如图, 是 的直径, , 是 的弦, 为 的中点, 与 交于点 ,过点 作 ,交 的延长线于点 ,且 平分 .
(1)求证: 是 的切线;
(2)求证: ;
(3)若 , ,求 的长.
试题篮
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