初中数学圆周角定理试题

如图， $\odot O$ 是 $\mathit{\Delta ABC}$ 的外接圆，点 $O$ 在 $\mathit{BC}$ 边上， $\angle \mathit{BAC}$ 的平分线交 $\odot O$ 于点 $D$ ，连接 $\mathit{BD}$ ， $\mathit{CD}$ ，过点 $D$ 作 $\odot O$ 的切线与 $\mathit{AC}$ 的延长线交于点 $P$ ．

（1）求证： $\mathit{DP}//\mathit{BC}$ ；

（2）求证： $\mathit{\Delta ABD}\backsim \mathit{\Delta DCP}$ ；

（3）当 $\mathit{AB}=5\mathit{cm}$ ， $\mathit{AC}=12\mathit{cm}$ 时，求线段 $\mathit{PC}$ 的长．

如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1， $\odot O$ 是 $\mathit{\Delta ABC}$ 的外接圆，点 $A$ ， $B$ ， $O$ 在网格线的交点上，则 $\sin \angle \mathit{ACB}$ 的值是 　　．

如图， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 直径，弦 $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$ ，垂足为点 $E$ ．弦 $\mathit{BF}$ 交 $\mathit{CD}$ 于点 $G$ ，点 $P$ 在 $\mathit{CD}$ 延长线上，且 $\mathit{PF}=\mathit{PG}$ ．

（1）求证： $\mathit{PF}$ 为 $\odot O$ 切线；

（2）若 $\mathit{OB}=10$ ， $\mathit{BF}=16$ ， $\mathit{BE}=8$ ，求 $\mathit{PF}$ 的长．

如图1， $O$ 为半圆的圆心， $C$ 、 $D$ 为半圆上的两点，且 $\stackrel{̂}{\mathit{BD}}=\stackrel{̂}{\mathit{CD}}$ ．连接 $\mathit{AC}$ 并延长，与 $\mathit{BD}$ 的延长线相交于点 $E$ ．

（1）求证： $\mathit{CD}=\mathit{ED}$ ；

（2） $\mathit{AD}$ 与 $\mathit{OC}$ ， $\mathit{BC}$ 分别交于点 $F$ ， $H$ ．

①若 $\mathit{CF}=\mathit{CH}$ ，如图2，求证： $\mathit{CF}\cdot \mathit{AF}=\mathit{FO}\cdot \mathit{AH}$ ；

②若圆的半径为2， $\mathit{BD}=1$ ，如图3，求 $\mathit{AC}$ 的值．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=6$ ，以点 $A$ 为圆心，3为半径的圆与边 $\mathit{BC}$ 相切于点 $D$ ，与 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{AB}$ 分别交于点 $E$ 和点 $G$ ，点 $F$ 是优弧 $\mathit{GE}$ 上一点， $\angle \mathit{CDE}=18°$ ，则 $\angle \mathit{GFE}$ 的度数是 $($ 　　 $)$

A．

$50°$

B．

$48°$

C．

$45°$

D．

$36°$

如图，已知在 $\odot O$ 中， $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}=\stackrel{̂}{\mathit{BC}}=\stackrel{̂}{\mathit{CD}}$ ， $\mathit{OC}$ 与 $\mathit{AD}$ 相交于点 $E$ ．

求证：（1） $\mathit{AD}//\mathit{BC}$ ；

（2）四边形 $\mathit{BCDE}$ 为菱形．

如图， $\mathit{PA}$ 、 $\mathit{PB}$ 分别与 $\odot O$ 相切于 $A$ 、 $B$ ， $\angle P=70°$ ， $C$ 为 $\odot O$ 上一点，则 $\angle \mathit{ACB}$ 的度数为 $($ 　　 $)$

A．

$110°$

B．

$120°$

C．

$125°$

D．

$130°$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $\odot O$ 是 $\mathit{\Delta ABC}$ 的外接圆， $\mathit{AE}$ 是直径，交 $\mathit{BC}$ 于点 $H$ ，点 $D$ 在 $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}$ 上，连接 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{CD}$ 过点 $E$ 作 $\mathit{EF}//\mathit{BC}$ 交 $\mathit{AD}$ 的延长线于点 $F$ ，延长 $\mathit{BC}$ 交 $\mathit{AF}$ 于点 $G$ ．

（1）求证： $\mathit{EF}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\mathit{BC}=2$ ， $\mathit{AH}=\mathit{CG}=3$ ，求 $\mathit{EF}$ 和 $\mathit{CD}$ 的长．

如图， $A$ ， $B$ ， $C$ 是半径为1的 $\odot O$ 上的三个点，若 $\mathit{AB}=\sqrt{2}$ ， $\angle \mathit{CAB}=30°$ ，则 $\angle \mathit{ABC}$ 的度数为 $($ 　　 $)$

A．

$95°$

B．

$100°$

C．

$105°$

D．

$110°$

如图，点 $C$ 在以 $\mathit{AB}$ 为直径的 $\odot O$ 上，点 $D$ 是 $\mathit{BC}$ 的中点，连接 $\mathit{OD}$ 并延长交 $\odot O$ 于点 $E$ ，作 $\angle \mathit{EBP}=\angle \mathit{EBC}$ ， $\mathit{BP}$ 交 $\mathit{OE}$ 的延长线于点 $P$ ．

（1）求证： $\mathit{PB}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\mathit{AC}=2$ ， $\mathit{PD}=6$ ，求 $\odot O$ 的半径．

如图，在 $\odot O$ 中， $\mathit{AB}$ 是直径，弦 $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$ ，垂足为 $H$ ， $E$ 为 $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$ 上一点， $F$ 为弦 $\mathit{DC}$ 延长线上一点，连接 $\mathit{FE}$ 并延长交直径 $\mathit{AB}$ 的延长线于点 $G$ ，连接 $\mathit{AE}$ 交 $\mathit{CD}$ 于点 $P$ ，若 $\mathit{FE}=\mathit{FP}$ ．

（1）求证： $\mathit{FE}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\odot O$ 的半径为8， $\sin F=\frac{3}{5}$ ，求 $\mathit{BG}$ 的长．

如图，以等边三角形 $\mathit{ABC}$ 的 $\mathit{BC}$ 边为直径画圆，交 $\mathit{AC}$ 于点 $D$ ， $\mathit{DF}\perp \mathit{AB}$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{OF}$ ，且 $\mathit{AF}=1$ ．

（1）求证： $\mathit{DF}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）求线段 $\mathit{OF}$ 的长度．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AD}$ 是 $\mathit{BC}$ 边上的中线，以 $\mathit{AB}$ 为直径的 $\odot O$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $D$ ，过 $D$ 作 $\mathit{MN}\perp \mathit{AC}$ 于点 $M$ ，交 $\mathit{AB}$ 的延长线于点 $N$ ，过点 $B$ 作 $\mathit{BG}\perp \mathit{MN}$ 于 $G$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta BGD}\backsim \mathit{\Delta DMA}$ ；

（2）求证：直线 $\mathit{MN}$ 是 $\odot O$ 的切线．

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$ 是等边三角形， $P$ 是 $\mathit{\Delta ABC}$ 内部的一点，连接 $\mathit{BP}$ ， $\mathit{CP}$ ．

（1）如图1，以 $\mathit{BC}$ 为直径的半圆 $O$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $Q$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $R$ ，当点 $P$ 在 $\stackrel{̂}{\mathit{QR}}$ 上时，连接 $\mathit{AP}$ ，在 $\mathit{BC}$ 边的下方作 $\angle \mathit{BCD}=\angle \mathit{BAP}$ ， $\mathit{CD}=\mathit{AP}$ ，连接 $\mathit{DP}$ ，求 $\angle \mathit{CPD}$ 的度数；

（2）如图2， $E$ 是 $\mathit{BC}$ 边上一点，且 $\mathit{EC}=3\mathit{BE}$ ，当 $\mathit{BP}=\mathit{CP}$ 时，连接 $\mathit{EP}$ 并延长，交 $\mathit{AC}$ 于点 $F$ ，若 $\sqrt{7}\mathit{AB}=4\mathit{BP}$ ，求证： $4\mathit{EF}=3\mathit{AB}$ ；

（3）如图3， $M$ 是 $\mathit{AC}$ 边上一点，当 $\mathit{AM}=2\mathit{MC}$ 时，连接 $\mathit{MP}$ ．若 $\angle \mathit{CMP}=150°$ ， $\mathit{AB}=6a$ ， $\mathit{MP}=\sqrt{3}a$ ， $\mathit{\Delta ABC}$ 的面积为 $S_1$ ， $\mathit{\Delta BCP}$ 的面积为 $S_2$ ，求 $S_1-S_2$ 的值（用含 $a$ 的代数式表示）．

如图，在锐角三角形 $\mathit{ABC}$ 中， $\mathit{AD}$ 是 $\mathit{BC}$ 边上的高，以 $\mathit{AD}$ 为直径的 $\odot O$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $F$ ，过点 $F$ 作 $\mathit{FG}\perp \mathit{AB}$ ，垂足为 $H$ ，交 $\stackrel{̂}{\mathit{AE}}$ 于点 $G$ ，交 $\mathit{AD}$ 于点 $M$ ，连接 $\mathit{AG}$ ， $\mathit{DE}$ ， $\mathit{DF}$ ．

（1）求证： $\angle \mathit{GAD}+\angle \mathit{EDF}=180°$ ；

（2）若 $\angle \mathit{ACB}=45°$ ， $\mathit{AD}=4$ ， $\tan \angle \mathit{ABC}=2$ ，求 $\mathit{HF}$ 的长．