初中数学圆的综合题试题

如图，在中，是斜边的中点，以为直径作圆交于点，延长至，使，连接、，交圆于点．

（1）判断四边形的形状，并说明理由；

（2）求证：；

（3）若，，求的长．

如图，内接于，，是的直径，与相交于点，过点作，分别交、的延长线于点、，连接．

（1）求证：是的切线；

（2）求证：．

如图1，已知外一点向作切线，点为切点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，过点作，分别交于点，交于点，连接．

（1）求证：；

（2）如图2，当时

①求的度数；

②连接，在上是否存在点使得四边形是菱形．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．

如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以为直径的经过点．

（1）求证：①是的切线；

②；

（2）若点是劣弧的中点，且，试求阴影部分的面积．

如图，已知是的直径，，为圆上一点，且，连接，，，与交于点．

（1）求证：为的切线；

（2）若，求的值．

如图，已知 $A$ 、 $B$ 两点的坐标分别为 $(8,0)$ 、 $(0,8)$ ，点 $C$ 、 $F$ 分别是直线 $x=-5$ 和 $x$ 轴上的动点， $\mathit{CF}=10$ ，点 $D$ 是线段 $\mathit{CF}$ 的中点，连接 $\mathit{AD}$ 交 $y$ 轴于点 $E$ ，当 $\mathit{\Delta ABE}$ 面积取得最小值时， $\tan \angle \mathit{BAD}$ 的值是 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{8}{17}$

B．

$\frac{7}{17}$

C．

$\frac{4}{9}$

D．

$\frac{5}{9}$

如图，是的直径，点是延长线上一点，过点作的切线，切点是，过点作弦于，连接，．

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求的长；

（3）试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．

如图，是的直径，点为上一点，于点，交于点，点为的延长线上一点，的延长线与的延长线交于点，且，连结、、．

（1）求证：为的切线；

（2）过作于点，求证：；

（3）如果，，求的长．

如图，在菱形中，连结、交于点，过点作于点，以点为圆心，为半径的半圆交于点．

①求证：是的切线．

②若且，求图中阴影部分的面积．

③在②的条件下，是线段上的一动点，当为何值时，的值最小，并求出最小值．

已知在平面直角坐标系中，直线分别交轴和轴于点，．

（1）如图1，已知经过点，且与直线相切于点，求的直径长；

（2）如图2，已知直线分别交轴和轴于点和点，点是直线上的一个动点，以为圆心，为半径画圆．

①当点与点重合时，求证：直线与相切；

②设与直线相交于，两点，连结，．问：是否存在这样的点，使得是等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，是的直径，切于点，交于点，平分，连接．

（1） 求证：；

（2） 若，，求的半径 ．

已知是的直径，是的切线，，交于点，是上一点，延长交于点．

（1）如图①，求和的大小；

（2）如图②，当时，求的大小．

阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：

莱昂哈德欧拉是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面就是欧拉发现的一个定理：在中，和分别为外接圆和内切圆的半径，和分别为其中外心和内心，则．

如图1，和分别是的外接圆和内切圆，与相切分于点，设的半径为，的半径为，外心（三角形三边垂直平分线的交点）与内心（三角形三条角平分线的交点）之间的距离，则有．

下面是该定理的证明过程（部分）

延长交于点，过点作的直径，连接，．

，（同弧所对的圆周角相等）．

．，，①

如图2，在图1（隐去，的基础上作的直径，连接，，，．

是的直径，所以．

与相切于点，所以，

．

（同弧所对的圆周角相等），

，

．

②

任务：（1）观察发现：，　　（用含，的代数式表示）；

（2）请判断和的数量关系，并说明理由．

（3）请观察式子①和式子②，并利用任务（1），（2）的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；

（4）应用：若的外接圆的半径为，内切圆的半径为，则的外心与内心之间的距离为　　．

如图1，的直径，是弦上一动点（与点，不重合），，过点作交于点．

（1）如图2，当时，求的长；

（2）如图3，当时，延长至点，使，连接．

①求证：是的切线；

②求的长．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$ 内接于圆 $O$ ，且 $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ，延长 $\mathit{BC}$ 到点 $D$ ，使 $\mathit{CD}=\mathit{CA}$ ，连接 $\mathit{AD}$ 交圆 $O$ 于点 $E$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta CDE}$ ；

（2）填空：

①当 $\angle \mathit{ABC}$ 的度数为 　　时，四边形 $\mathit{AOCE}$ 是菱形．

②若 $\mathit{AE}=\sqrt{3}$ ， $\mathit{AB}=2\sqrt{2}$ ，则 $\mathit{DE}$ 的长为 　　．