初中数学作图—基本作图试题

如图，已知锐角 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$ ．

（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作 $\angle \mathit{ACB}$ 的平分线 $\mathit{CD}$ ；作 $\mathit{\Delta ABC}$ 的外接圆 $\odot O$ ；（不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若 $\mathit{AB}=\frac{48}{5}$ ， $\odot O$ 的半径为5，则 $\sin B=$ 　　．（如需画草图，请使用图 $2)$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中，按以下步骤作图：①分别以点 $B$和 $C$为圆心，以大于 $\frac{1}{2}\mathit{BC}$的长为半径作弧，两弧相交于点 $M$和 $N$；②作直线 $\mathit{MN}$交 $\mathit{AC}$于点 $D$，连接 $\mathit{BD}$．若 $\mathit{AC}=6$， $\mathit{AD}=2$，则 $\mathit{BD}$的长为 $($　　 $)$

A．2B．3C．4D．6

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=2$， $\mathit{BC}=3$．以点 $C$为圆心，适当长为半径画弧，交 $\mathit{BC}$于点 $P$，交 $\mathit{CD}$于点 $Q$，再分别以点 $P$， $Q$为圆心，大于 $\frac{1}{2}\mathit{PQ}$的长为半径画弧，两弧相交于点 $N$，射线 $\mathit{CN}$交 $\mathit{BA}$的延长线于点 $E$，则 $\mathit{AE}$的长是 $($　　 $)$

A． $\frac{1}{2}$B．1C． $\frac{6}{5}$D． $\frac{3}{2}$

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{AC}=3$， $\mathit{BC}=4$， $D$、 $E$分别是斜边 $\mathit{AB}$、直角边 $\mathit{BC}$上的点，把 $\mathit{\Delta ABC}$沿着直线 $\mathit{DE}$折叠．

（1）如图1，当折叠后点 $B$和点 $A$重合时，用直尺和圆规作出直线 $\mathit{DE}$；（不写作法和证明，保留作图痕迹）

（2）如图2，当折叠后点 $B$落在 $\mathit{AC}$边上点 $P$处，且四边形 $\mathit{PEBD}$是菱形时，求折痕 $\mathit{DE}$的长．

如图，已知直线 $l_1//l_2$ ，直线 $l_3$ 分别与 $l_1$ 、 $l_2$ 交于点 $A$ 、 $B$ ．请用尺规作图法，在线段 $\mathit{AB}$ 上求作一点 $P$ ，使点 $P$ 到 $l_1$ 、 $l_2$ 的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，以点 $C$为圆心， $\mathit{CB}$长为半径画弧，交 $\mathit{AB}$于点 $B$和点 $D$，再分别以点 $B$， $D$为圆心，大于 $\frac{1}{2}\mathit{BD}$长为半径画弧，两弧相交于点 $M$，作射线 $\mathit{CM}$交 $\mathit{AB}$于点 $E$．若 $\mathit{AE}=2$， $\mathit{BE}=1$，则 $\mathit{EC}$的长度是 $($　　 $)$

A．2B．3C． $\sqrt{3}$D． $\sqrt{5}$

下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点 $P$作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是 $($　　 $)$

A．①B．②C．③D．④

已知 $\angle \mathit{AOB}=45°$，求作 $\angle \mathit{AOP}=22.5°$，作法：

（1）以 $O$为圆心，任意长为半径画弧分别交 $\mathit{OA}$， $\mathit{OB}$于点 $N$， $M$；

（2）分别以 $N$， $M$为圆心，以 $\mathit{OM}$长为半径在角的内部画弧交于点 $P$；

（3）作射线 $\mathit{OP}$，则 $\mathit{OP}$为 $\angle \mathit{AOB}$的平分线，可得 $\angle \mathit{AOP}=22.5°$

根据以上作法，某同学有以下3种证明思路：

①可证明 $\mathit{\Delta OPN}\cong \mathit{\Delta OPM}$，得 $\angle \mathit{POA}=\angle \mathit{POB}$，可得；

②可证明四边形 $\mathit{OMPN}$为菱形， $\mathit{OP}$， $\mathit{MN}$互相垂直平分，得 $\angle \mathit{POA}=\angle \mathit{POB}$，可得；

③可证明 $\mathit{\Delta PMN}$为等边三角形， $\mathit{OP}$， $\mathit{MN}$互相垂直平分，从而得 $\angle \mathit{POA}=\angle \mathit{POB}$，可得．

你认为该同学以上3种证明思路中，正确的有 $($　　 $)$

A．①②B．①③C．②③D．①②③

如图，在 $\mathit{Rt}△\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}＝90°$，以点A为圆心，以AB长为半径作弧交BC于点D，再分别以点B，D为圆心，以大于 $\frac{1}{2}\mathit{BD}$的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，若 $\mathit{AB}＝3$， $\mathit{AC}＝4$，则 $\mathit{CD}＝$（　　）

A． $\frac{12}{5}$B． $\frac{9}{5}$C． $\frac{8}{5}$D． $\frac{7}{5}$

如图，数轴上点 $A$， $B$分别对应1，2，过点 $B$作 $\mathit{PQ}\perp \mathit{AB}$，以点 $B$为圆心， $\mathit{AB}$长为半径画弧，交 $\mathit{PQ}$于点 $C$，以原点 $O$为圆心， $\mathit{OC}$长为半径画弧，交数轴于点 $M$，则点 $M$对应的数是 $($　　 $)$

A． $\sqrt{3}$B． $\sqrt{5}$C． $\sqrt{6}$D． $\sqrt{7}$

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$ 为平行四边形，连接 $\mathit{AC}$ ，且 $\mathit{AC}=2\mathit{AB}$ ．请用尺规完成基本作图：作出 $\angle \mathit{BAC}$ 的角平分线与 $\mathit{BC}$ 交于点 $E$ ．连接 $\mathit{BD}$ 交 $\mathit{AE}$ 于点 $F$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $O$ ，猜想线段 $\mathit{BF}$ 和线段 $\mathit{DF}$ 的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）

如图，已知在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{ABC}<90°$ ， $\mathit{AB}\ne \mathit{BC}$ ， $\mathit{BE}$ 是 $\mathit{AC}$ 边上的中线．按下列步骤作图：①分别以点 $B$ ， $C$ 为圆心，大于线段 $\mathit{BC}$ 长度一半的长为半径作弧，相交于点 $M$ ， $N$ ；②过点 $M$ ， $N$ 作直线 $\mathit{MN}$ ，分别交 $\mathit{BC}$ ， $\mathit{BE}$ 于点 $D$ ， $O$ ；③连接 $\mathit{CO}$ ， $\mathit{DE}$ ．则下列结论错误的是 $($ 　　 $)$

A．

$\mathit{OB}=\mathit{OC}$

B．

$\angle \mathit{BOD}=\angle \mathit{COD}$

C．

$\mathit{DE}//\mathit{AB}$

D．

$\mathit{DB}=\mathit{DE}$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{BAC}>90°$ ，分别以点 $A$ ， $B$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2}\mathit{AB}$ 长为半径画弧，两弧交于点 $D$ ， $E$ ．作直线 $\mathit{DE}$ ，交 $\mathit{BC}$ 于点 $M$ ．分别以点 $A$ ， $C$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2}\mathit{AC}$ 长为半径画弧，两弧交于点 $F$ ， $G$ ．作直线 $\mathit{FG}$ ，交 $\mathit{BC}$ 于点 $N$ ．连接 $\mathit{AM}$ ， $\mathit{AN}$ ．若 $\angle \mathit{BAC}=\alpha$ ，则 $\angle \mathit{MAN}=$ 　　．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$， $\angle B=20°$， $\mathit{PQ}$垂直平分 $\mathit{AB}$，垂足为 $Q$，交 $\mathit{BC}$于点 $P$．按以下步骤作图：①以点 $A$为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边 $\mathit{AC}$， $\mathit{AB}$于点 $D$， $E$；②分别以点 $D$， $E$为圆心，以大于 $\frac{1}{2}\mathit{DE}$的长为半径作弧，两弧相交于点 $F$；③作射线 $\mathit{AF}$．若 $\mathit{AF}$与 $\mathit{PQ}$的夹角为 $\alpha$，则 $\alpha =$　    ．

如图，已知 $\mathit{BD}$是矩形 $\mathit{ABCD}$的对角线．

（1）用直尺和圆规作线段 $\mathit{BD}$的垂直平分线，分别交 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BC}$于 $E$、 $F$（保留作图痕迹，不写作法和证明）．

（2）连接 $\mathit{BE}$， $\mathit{DF}$，问四边形 $\mathit{BEDF}$是什么四边形？请说明理由．