初中数学作图—基本作图解答题

已知： $\angle \mathit{AOB}$．

求作： $\angle A\text{'}O\text{'}B\text{'}$，使得 $\angle A\text{'}O\text{'}B\text{'}=\angle \mathit{AOB}$．

作法：

①以 $O$为圆心，任意长为半径画弧，分别交 $\mathit{OA}$， $\mathit{OB}$于点 $C$， $D$；

②画一条射线 $O\text{'}A\text{'}$，以点 $O\text{'}$为圆心， $\mathit{OC}$长为半径画弧，交 $O\text{'}A\text{'}$于点 $C\text{'}$；

③以点 $C\text{'}$为圆心， $\mathit{CD}$长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点 $D\text{'}$；

④过点 $D\text{'}$画射线 $O\text{'}B\text{'}$，则 $\angle A\text{'}O\text{'}B\text{'}=\angle \mathit{AOB}$．

根据上面的作法，完成以下问题：

（1）使用直尺和圆规，作出 $\angle A\text{'}O\text{'}B\text{'}$（请保留作图痕迹）．

（2）完成下面证明 $\angle A\text{'}O\text{'}B\text{'}=\angle \mathit{AOB}$的过程（注 $:$括号里填写推理的依据）．

证明：由作法可知 $O\text{'}C\text{'}=\mathit{OC}$， $O\text{'}D\text{'}=\mathit{OD}$， $D\text{'}C\text{'}=$　　，

$\therefore$△ $C\text{'}O\text{'}D\text{'}\cong \mathit{\Delta COD}($　　 $)$

$\therefore \angle A\text{'}O\text{'}B\text{'}=\angle \mathit{AOB}$． $($　　 $)$

如图，已知 $\mathit{BD}$是矩形 $\mathit{ABCD}$的对角线．

（1）用直尺和圆规作线段 $\mathit{BD}$的垂直平分线，分别交 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BC}$于 $E$、 $F$（保留作图痕迹，不写作法和证明）．

（2）连接 $\mathit{BE}$， $\mathit{DF}$，问四边形 $\mathit{BEDF}$是什么四边形？请说明理由．

尺规作图（不写作法，保留作图痕迹） $:$

已知线段 $a$和 $\angle \mathit{AOB}$，点 $M$在 $\mathit{OB}$上（如图所示）．

（1）在 $\mathit{OA}$边上作点 $P$，使 $\mathit{OP}=2a$；

（2）作 $\angle \mathit{AOB}$的平分线；

（3）过点 $M$作 $\mathit{OB}$的垂线．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$ 中， AB $>$ AD．

（1）用尺规完成以下基本作图：在 AB上截取 AE，使得 AE= AD；作∠ BCD的平分线交 AB于点 F．（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）所作的图形中，连接 DE交 CF于点 P，猜想△ CDP按角分类的类型，并证明你的结论．

如图，在Rt△ABC中， $\angle \mathit{ACB}＝90°$．

（1）请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：

①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；

②过点D作AC的垂线，垂足为点E．

（2）在（1）作出的图形中，若 $\mathit{CB}＝4$， $\mathit{CA}＝6$，则DE＝　　．

在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$．

（1）如图①，点 $O$在斜边 $\mathit{AB}$上，以点 $O$为圆心， $\mathit{OB}$长为半径的圆交 $\mathit{AB}$于点 $D$，交 $\mathit{BC}$于点 $E$，与边 $\mathit{AC}$相切于点 $F$．求证： $\angle 1=\angle 2$；

（2）在图②中作 $\odot M$，使它满足以下条件：

①圆心在边 $\mathit{AB}$上；②经过点 $B$；③与边 $\mathit{AC}$相切．

（尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）

如图，在△ ABC中，点 D是 AB边上的一点．

（1）请用尺规作图法，在△ ABC内，求作∠ ADE，使∠ ADE＝∠ B， DE交 AC于 E；（不要求写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若 $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{DB}}$ ＝2，求 $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{EC}}$ 的值．

如图，已知锐角 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$ ．

（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作 $\angle \mathit{ACB}$ 的平分线 $\mathit{CD}$ ；作 $\mathit{\Delta ABC}$ 的外接圆 $\odot O$ ；（不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若 $\mathit{AB}=\frac{48}{5}$ ， $\odot O$ 的半径为5，则 $\sin B=$ 　　．（如需画草图，请使用图 $2)$

如图，在四边形 ABCD中，∠ B＝∠ C＝90°， AB＞ CD， AD＝ AB+ CD．

（1）利用尺规作∠ ADC的平分线 DE，交 BC于点 E，连接 AE（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）的条件下，

①证明： AE⊥ DE；

②若 CD＝2， AB＝4，点 M， N分别是 AE， AB上的动点，求 BM+ MN的最小值．

已知：四边形 $\mathit{ABCD}$．

求作：点 $P$，使 $\angle \mathit{PCB}=\angle B$，且点 $P$到边 $\mathit{AD}$和 $\mathit{CD}$的距离相等．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$ 为平行四边形，连接 $\mathit{AC}$ ，且 $\mathit{AC}=2\mathit{AB}$ ．请用尺规完成基本作图：作出 $\angle \mathit{BAC}$ 的角平分线与 $\mathit{BC}$ 交于点 $E$ ．连接 $\mathit{BD}$ 交 $\mathit{AE}$ 于点 $F$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $O$ ，猜想线段 $\mathit{BF}$ 和线段 $\mathit{DF}$ 的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）

如图，已知直线 $l_1//l_2$ ，直线 $l_3$ 分别与 $l_1$ 、 $l_2$ 交于点 $A$ 、 $B$ ．请用尺规作图法，在线段 $\mathit{AB}$ 上求作一点 $P$ ，使点 $P$ 到 $l_1$ 、 $l_2$ 的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）

如图，点 $P$是 $\odot O$的直径 $\mathit{AB}$延长线上的一点 $(\mathit{PB}<\mathit{OB})$，点 $E$是线段 $\mathit{OP}$的中点．

（1）尺规作图：在直径 $\mathit{AB}$上方的圆上作一点 $C$，使得 $\mathit{EC}=\mathit{EP}$，连接 $\mathit{EC}$， $\mathit{PC}$（保留清晰作图痕迹，不要求写作法）；并证明 $\mathit{PC}$是 $\odot O$的切线；

（2）在（1）的条件下，若 $\mathit{BP}=4$， $\mathit{EB}=1$，求 $\mathit{PC}$的长．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中，以点 $A$为圆心， $\mathit{AB}$长为半径画弧交 $\mathit{AD}$于点 $F$，再分别以点 $B$、 $F$为圆心，大于 $\frac{1}{2}\mathit{BF}$的相同长为半径画弧，两弧交于点 $P$；连接 $\mathit{AP}$并延长交 $\mathit{BC}$于点 $E$，连接 $\mathit{EF}$，则所得四边形 $\mathit{ABEF}$是菱形．

（1）根据以上尺规作图的过程，求证：四边形 $\mathit{ABEF}$是菱形；

（2）若菱形 $\mathit{ABEF}$的周长为16， $\mathit{AE}=4\sqrt{3}$，求 $\angle C$的大小．

已知： AC是▱ ABCD的对角线．

（1）用直尺和圆规作出线段 AC的垂直平分线，与 AD相交于点 E，连接 CE．（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）的条件下，若 AB＝3， BC＝5，求△ DCE的周长．