初中数学作图—复杂作图试题

已知线段 $\mathit{AB}$ ，按如下步骤作图：①作射线 $\mathit{AC}$ ，使 $\mathit{AC}\perp \mathit{AB}$ ；②作 $\angle \mathit{BAC}$ 的平分线 $\mathit{AD}$ ；③以点 $A$ 为圆心， $\mathit{AB}$ 长为半径作弧，交 $\mathit{AD}$ 于点 $E$ ；④过点 $E$ 作 $\mathit{EP}\perp \mathit{AB}$ 于点 $P$ ，则 $\mathit{AP}:\mathit{AB}=($ 　　 $)$

A．

$1:\sqrt{5}$

B．

$1:2$

C．

$1:\sqrt{3}$

D．

$1:\sqrt{2}$

如图，已知 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle C=90°$ ．

（1）请按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）．

①作 $\angle \mathit{BAC}$ 的角平分线 $\mathit{AD}$ ，交 $\mathit{BC}$ 于点 $D$ ；

②作线段 $\mathit{AD}$ 的垂直平分线 $\mathit{EF}$ 与 $\mathit{AB}$ 相交于点 $O$ ；

③以点 $O$ 为圆心，以 $\mathit{OD}$ 长为半径画圆，交边 $\mathit{AB}$ 于点 $M$ ．

（2）在（1）的条件下，求证： $\mathit{BC}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（3）若 $\mathit{AM}=4\mathit{BM}$ ， $\mathit{AC}=10$ ，求 $\odot O$ 的半径．

如图，点 $A$ 是数轴上表示实数 $a$ 的点．

（1）用直尺和圆规在数轴上作出表示实数 $\sqrt{2}$ 的点 $P$ ；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）根据数轴比较 $\sqrt{2}$ 和 $a$ 的大小，并说明理由．

如图，已知 $P$ 是 $\odot O$ 外一点．用两种不同的方法过点 $P$ 作 $\odot O$ 的一条切线．

要求：（1）用直尺和圆规作图；

（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．

如图， $B$ 、 $F$ 、 $C$ 、 $E$ 是直线 $l$ 上的四点， $\mathit{AB}//\mathit{DE}$ ， $\mathit{AB}=\mathit{DE}$ ， $\mathit{BF}=\mathit{CE}$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABC}\cong \mathit{\Delta DEF}$ ；

（2）将 $\mathit{\Delta ABC}$ 沿直线 $l$ 翻折得到△ $A\text{'}\mathit{BC}$ ．

①用直尺和圆规在图中作出△ $A\text{'}\mathit{BC}$ （保留作图痕迹，不要求写作法）；

②连接 $A\text{'}D$ ，则直线 $A\text{'}D$ 与 $l$ 的位置关系是 　　．

已知锐角 $\angle \mathit{AOB}=40°$ ，如图，按下列步骤作图：①在 $\mathit{OA}$ 边取一点 $D$ ，以 $O$ 为圆心， $\mathit{OD}$ 长为半径画 $\widehat{\mathit{MN}}$ ，交 $\mathit{OB}$ 于点 $C$ ，连接 $\mathit{CD}$ ．②以 $D$ 为圆心， $\mathit{DO}$ 长为半径画 $\widehat{\mathit{GH}}$ ，交 $\mathit{OB}$ 于点 $E$ ，连接 $\mathit{DE}$ ．则 $\angle \mathit{CDE}$ 的度数为 $($ 　　 $)$

A．

$20°$

B．

$30°$

C．

$40°$

D．

$50°$

下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．

小明：如图1， $\left(1\right)$分别在射线OA，OB上截取 $\mathit{OC}=\mathit{OD}$， $\mathit{OE}=\mathit{OF}($点C，E不重合 $)$； $\left(2\right)$分别作线段CE，DF的垂直平分线 $l_1$， $l_2$，交点为P，垂足分别为点G，H； $\left(3\right)$作射线OP，射线即为 $\angle \mathit{AOB}$的平分线． 简述理由如下： 由作图知， $\angle \mathit{PGO}=\angle \mathit{PHO}=90°$， $\mathit{OG}=\mathit{OH}$， $\mathit{OP}=\mathit{OP}$，所以 $\mathit{Rt}△\mathit{PGO}$≌ $\mathit{Rt}△\mathit{PHO}$，则 $\angle \mathit{POG}=\angle \mathit{POH}$，即射线OP是 $\angle \mathit{AOB}$的平分线． 小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2， $\left(1\right)$分别在射线OA，OB上截取 $\mathit{OC}=\mathit{OD}$， $\mathit{OE}=\mathit{OF}($点C，E不重合 $)$； $\left(2\right)$连接DE，CF，交点为P； $\left(3\right)$作射线 $\mathit{OP}.$射线OP即为 $\angle \mathit{AOB}$的平分线． $\dots \dots$

任务：

$\left(1\right)$小明得出 $\mathit{Rt}△\mathit{PGO}$≌ $\mathit{Rt}△\mathit{PHO}$的依据是______ $($填序号 $)$．

$\mathit{①SSS②SAS③AAS④ASA⑤HL}$

$\left(2\right)$小军作图得到的射线0P是 $\angle \mathit{AOB}$的平分线吗？请判断并说明理由．

$\left(3\right)$如图3，已知 $\angle \mathit{AOB}=60°$，点E，F分别在射线OA，OB上，且 $\mathit{OE}=\mathit{OF}=\sqrt{3}+1.$点C，D分别为射线OA，OB上的动点，且 $\mathit{OC}=\mathit{OD}$，连接DE，CF，交点为P，当 $\angle \mathit{CPE}=30°$时，直接写出线段OC的长．

尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$，且 $\mathit{AB}>\mathit{AC}$．

（1）在 $\mathit{AB}$边上求作点 $D$，使 $\mathit{DB}=\mathit{DC}$；

（2）在 $\mathit{AC}$边上求作点 $E$，使 $\mathit{\Delta ADE}\backsim \mathit{\Delta ACB}$．

在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$， $C$是弦 $\mathit{AB}$上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．

（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；

①作线段 $\mathit{AC}$的垂直平分线 $\mathit{DE}$，分别交 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$于点 $D$， $\mathit{AC}$于点 $E$，连接 $\mathit{AD}$， $\mathit{CD}$；

②以点 $D$为圆心， $\mathit{DA}$长为半径作弧，交 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$于点 $F(F$， $A$两点不重合），连接 $\mathit{DF}$， $\mathit{BD}$， $\mathit{BF}$．

（2）直接写出引理的结论：线段 $\mathit{BC}$， $\mathit{BF}$的数量关系．

如图，已知线段 $\mathit{MN}=a$， $\mathit{AR}\perp \mathit{AK}$，垂足为 $A$．

（1）求作四边形 $\mathit{ABCD}$，使得点 $B$， $D$分别在射线 $\mathit{AK}$， $\mathit{AR}$上，且 $\mathit{AB}=\mathit{BC}=a$， $\angle \mathit{ABC}=60°$， $\mathit{CD}//\mathit{AB}$；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）设 $P$， $Q$分别为（1）中四边形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AB}$， $\mathit{CD}$的中点，求证：直线 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{PQ}$相交于同一点．

过直线 $l$外一点 $P$作直线 $l$的平行线，下列尺规作图中错误的是 $($　　 $)$

A．B．

C．D．

如图，在等腰 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=2\sqrt{5}$， $\mathit{BC}=8$，按下列步骤作图：

①以点 $A$为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$于点 $E$， $F$，再分别以点 $E$， $F$为圆心，大于 $\frac{1}{2}\mathit{EF}$的长为半径作弧相交于点 $H$，作射线 $\mathit{AH}$；

②分别以点 $A$， $B$为圆心，大于 $\frac{1}{2}\mathit{AB}$的长为半径作弧相交于点 $M$， $N$，作直线 $\mathit{MN}$，交射线 $\mathit{AH}$于点 $O$；

③以点 $O$为圆心，线段 $\mathit{OA}$长为半径作圆．

则 $\odot O$的半径为 $($　　 $)$

A． $2\sqrt{5}$B．10C．4D．5

如图， $C$为线段 $\mathit{AB}$外一点．

（1）求作四边形 $\mathit{ABCD}$，使得 $\mathit{CD}//\mathit{AB}$，且 $\mathit{CD}=2\mathit{AB}$；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$相交于点 $P$， $\mathit{AB}$， $\mathit{CD}$的中点分别为 $M$， $N$，求证： $M$， $P$， $N$三点在同一条直线上．

如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， $\mathit{\Delta ABC}$的顶点 $A$， $C$均落在格点上，点 $B$在网格线上，且 $\mathit{AB}=\frac{5}{3}$．

（Ⅰ）线段 $\mathit{AC}$的长等于　　．

（Ⅱ）以 $\mathit{BC}$为直径的半圆与边 $\mathit{AC}$相交于点 $D$，若 $P$， $Q$分别为边 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$上的动点，当 $\mathit{BP}+\mathit{PQ}$取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点 $P$， $Q$，并简要说明点 $P$， $Q$的位置是如何找到的（不要求证明）　　．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$．

（1）尺规作图：作 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$的外接圆 $\odot O$；作 $\angle \mathit{ACB}$的角平分线交 $\odot O$于点 $D$，连接 $\mathit{AD}$．（不写作法，保留作图痕迹）

（2）若 $\mathit{AC}=6$， $\mathit{BC}=8$，求 $\mathit{AD}$的长．