初中数学作图—复杂作图填空题

如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， $\mathit{\Delta ABC}$的顶点 $A$， $C$均落在格点上，点 $B$在网格线上，且 $\mathit{AB}=\frac{5}{3}$．

（Ⅰ）线段 $\mathit{AC}$的长等于　　．

（Ⅱ）以 $\mathit{BC}$为直径的半圆与边 $\mathit{AC}$相交于点 $D$，若 $P$， $Q$分别为边 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$上的动点，当 $\mathit{BP}+\mathit{PQ}$取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点 $P$， $Q$，并简要说明点 $P$， $Q$的位置是如何找到的（不要求证明）　　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle C=84°$，分别以点 $A$、 $B$为圆心，以大于 $\frac{1}{2}\mathit{AB}$的长为半径画弧，两弧分别交于点 $M$、 $N$，作直线 $\mathit{MN}$交 $\mathit{AC}$点 $D$；以点 $B$为圆心，适当长为半径画弧，分别交 $\mathit{BA}$、 $\mathit{BC}$于点 $E$、 $F$，再分别以点 $E$、 $F$为圆心，大于 $\frac{1}{2}\mathit{EF}$的长为半径画弧，两弧交于点 $P$，作射线 $\mathit{BP}$，此时射线 $\mathit{BP}$恰好经过点 $D$，则 $\angle A=$　　度．

如图，已知 $\angle \mathit{MON}$是一个锐角，以点 $O$为圆心，任意长为半径画弧，分别交 $\mathit{OM}$、 $\mathit{ON}$于点 $A$、 $B$，再分别以点 $A$、 $B$为圆心，大于 $\frac{1}{2}\mathit{AB}$长为半径画弧，两弧交于点 $C$，画射线 $\mathit{OC}$．过点 $A$作 $\mathit{AD}//\mathit{ON}$，交射线 $\mathit{OC}$于点 $D$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{OC}$，交 $\mathit{ON}$于点 $E$．设 $\mathit{OA}=10$， $\mathit{DE}=12$，则 $\sin \angle \mathit{MON}=$　　．

已知： $\mathit{\Delta ABC}$，求作： $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆．作法：①分别作线段 $\mathit{BC}$， $\mathit{AC}$的垂直平分线 $\mathit{EF}$和 $\mathit{MN}$，它们相交于点 $O$；②以点 $O$为圆心， $\mathit{OB}$的长为半径画圆．如图， $\odot O$即为所求，以上作图用到的数学依据有：　

如图， $▱\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$相交于点 $O$，按以下步骤作图：①以点 $A$为圆心，以任意长为半径作弧，分别交 $\mathit{AO}$， $\mathit{AB}$于点 $M$， $N$；②以点 $O$为圆心，以 $\mathit{AM}$长为半径作弧，交 $\mathit{OC}$于点 $M^{\text{'}}$；③以点 $M^{\text{'}}$为圆心，以 $\mathit{MN}$长为半径作弧，在 $\angle \mathit{COB}$内部交前面的弧于点 $N^{\text{'}}$；④过点 $N^{\text{'}}$作射线 $O{N}^{\text{'}}$交 $\mathit{BC}$于点 $E$．若 $\mathit{AB}=8$，则线段 $\mathit{OE}$的长为　　．

如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， $\mathit{\Delta ABC}$的顶点 $A$在格点上， $B$是小正方形边的中点， $\angle \mathit{ABC}=50°$， $\angle \mathit{BAC}=30°$，经过点 $A$， $B$的圆的圆心在边 $\mathit{AC}$上．

（Ⅰ）线段 $\mathit{AB}$的长等于　　；

（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点 $P$，使其满足 $\angle \mathit{PAC}=\angle \mathit{PBC}=\angle \mathit{PCB}$，并简要说明点 $P$的位置是如何找到的（不要求证明）　　．

下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程

已知： $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$， $\angle C=90°$，求作 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$的外接圆．

作法：如图2．

（1）分别以点 $A$和点 $B$为圆心，大于 $\frac{1}{2}\mathit{AB}$的长为半径作弧，两弧相交于 $P$， $Q$两点；

（2）作直线 $\mathit{PQ}$，交 $\mathit{AB}$于点 $O$；

（3）以 $O$为圆心， $\mathit{OA}$为半径作 $\odot O$． $\odot O$即为所求作的圆．

请回答：该尺规作图的依据是　　．